Question

На доске написано 29 различных чисел. Полина к некоторым числам прибавила 1, к некоторым — 12, а ко всем оставшимся — 123. Среди новых 29 чисел могли появиться одинаковые. Какое наименьшее количество различных чисел могло быть среди новых чисел?

Answer 1

Ответ:

10

Пошаговое объяснение:

1. Докажем, что больше 3 одинаковых чисел получиться не могло.

Заметим, что если к двум разным числам прибавить одно и то же, то получатся разные числа. Тогда если числа получились одинаковыми, то к ним прибавляли разные числа,

а разных чисел, которые можно было прибавлять, всего 3 (а именно 1, 12 и 123)

2. Докажем, что различных чисел получилось не менее 10.

Если бы различных чисел было не более 9, то все числа разбивались бы на

9 или меньше групп одинаковых чисел, причем в каждой группе, как мы уже доказали,

не больше 3 чисел. Тогда всего было бы не более 3⋅9=27 чисел, но у нас 29 чисел. Значит различных чисел точно больше 9. То есть минимум 10. Подберём пример для десяти.

Пусть изначально были числа:

1, 2, 3, 4, 5,6,7,8,9,10,

124, 125,126, 127, 128, 129,130, 131, 132, 133,

112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120

К первой группе из десяти чисел добавим 123, ко второй группе из десяти чисел добавим 1, к третьей группе - 12. Получим числа

124, 125,126, 127, 128, 129,130, 131, 132, 133,

124, 125,126, 127 ,128, 129,130, 131, 132, 133,

124, 125,126, 127, 128, 129,130, 131, 132.

- это 10 различных чисел

То есть 10 получиться может. И меньше 10 быть не может. Значит 10 - минимальное.

Answer 2

После того как Полина выполнила указанные операции, мы можем рассмотреть следующие случаи:

1. К числам, которые были увеличены на 1, теперь у нас могут быть такие же числа (в результате 29 чисел могут стать меньше различными).
2. К числам, которые были увеличены на 12, также могут добавиться одинаковые числа.
3. К числам, которые были увеличены на 123, не добавится ни одно одинаковое число, так как прибавление 123 гарантированно создает новое число, несмотря на то, какое оно было изначально.

Чтобы минимизировать количество различных чисел, нам нужно максимизировать количество чисел, которые могут стать одинаковыми. Таким образом, наименьшее количество различных чисел среди новых чисел будет следующим:

1. Положим, что 1 число было увеличено на 1.
2. Положим, что 12 чисел были увеличены на 12.
3. Положим, что оставшиеся 16 чисел были увеличены на 123.

Теперь у нас есть 1 число (из тех, что увеличены на 1) + 12 чисел (из тех, что увеличены на 12) + 16 чисел (из тех, что увеличены на 123) = 29 новых чисел.

Таким образом, наименьшее количество различных чисел среди новых чисел - это 1 + 12 + 16 = 29 чисел.