Question

На доске написано 29 различных чисел. Полина к некоторым числам прибавила 1, к некоторым — 12, а ко всем оставшимся — 123. Среди новых 29 чисел могли появиться одинаковые. Какое наименьшее количество различных чисел могло быть среди новых чисел?​

Answer 1

Минимальное количество чисел мы получим, если будем подгонять их по 3 одинаковых в последовательности.

Решение и ответ:

29 / 3 - округлить в большую сторону = 10

Проверка на подвох:

12 - 1 = 11. 11 больше чем 9, значит вся задуманная последовательность из троек одинаковых чисел уместится в отведённый интервал.

Answer 2

Для решения этой задачи можно рассмотреть два крайних случая.

1. Пусть изначально на доске были числа от 1 до 29 включительно. Если Полина к каждому числу прибавила 1, получим числа от 2 до 30. Если к каждому числу прибавила 12, получим числа от 13 до 41. Затем к каждому числу прибавила 123, получим числа от 136 до 164. В этом случае все новые числа будут различными.

2. Пусть изначально на доске были одинаковые числа, например, все числа были равны 1. Если Полина к каждому числу прибавила 1, получим все числа равные 2. Если к каждому числу прибавила 12, получим все числа равные 13. Затем к каждому числу прибавила 123, получим все числа равные 136. В этом случае все новые числа также будут одинаковыми.

Таким образом, наименьшее количество различных чисел среди новых чисел может быть как 29 (когда все исходные числа различны), так и 1 (когда все исходные числа одинаковы).