Question

Два натуральних числа в сумі дають 2021. Кожне з них збільшили на 2020 і помножили. Чи може отриманий добуток закінчуватись на 2021?

Answer 1

Ответ:

klhhyou

Пошаговое объяснение:

ffigighguihjklhlkji

Answer 2

Позначимо дані числа як $x$ і $y$, де $x$ і $y$ є натуральними числами і $x + y = 2021$. Відомо, що кожне з цих чисел було збільшено на 2020 і помножено, тобто ми маємо наступну систему рівнянь:

$$\begin{align*} x' &= x + 2020 \\ y' &= y + 2020 \\ xy' &= 2021k + 2021 \end{align*}$$

де $x'$ і $y'$ - це нові числа, $k$ - натуральне число, яке представляє отриманий добуток після збільшення та множення.

Підставимо значення $x'$ і $y'$ з перших двох рівнянь у третє:

$$x(y + 2020) = 2021k + 2021$$

Розкриємо дужки:

$$xy + 2020x = 2021k + 2021$$

Враховуючи, що $x + y = 2021$, можемо замінити $y$ на $2021 - x$:

$$xy + 2020x = 2021k + 2021$$

Перенесемо всі доданки з $x$ на один бік:

$$xy - 2020x = 2021k + 2021 - 2020x$$

Факторизуємо $x$ з перших двох доданків:

$$x(y - 2020) = 2021(k - 1)$$

Зауважимо, що $x(y - 2020)$ є добутком двох натуральних чисел, а $2021(k - 1)$ є добутком $2021$ та $(k - 1)$. Таким чином, $x(y - 2020)$ повинно містити фактори, які включають $2021$, щоб можна було отримати добуток, який закінчується на $2021$.

Однак $2021$ є простим числом, тобто воно не розкладається на добуток менших чисел, крім $1$ та самого себе. Оскільки $y - 2020$ є натуральним числом, а не $1$, то добуток $x(y - 2020)$ не може містити фактор $2021$, крім якщо $x$ саме рівне $2021$.

Отже, отриманий добуток не може закінчуватись на $2021$.