Question

Интеграл (корень из 9-x^2)/(x^4) по dx​

Answer 1

Ответ:

вроде так будет

корень-9-х²/х-arcsinx/3+C

Answer 2

Для решения данного интеграла, мы можем разложить выражение на части и затем интегрировать каждую из них отдельно. Интеграл можно разделить на две части следующим образом:

∫(√(9 - x^2))/(x^4) dx = ∫(√(9 - x^2))/(x^2 * x^2) dx

Теперь мы можем разделить интеграл на два интеграла:

∫(√(9 - x^2))/(x^2 * x^2) dx = ∫(1/(x^2 * x^2)) * √(9 - x^2) dx

Первая часть этого интеграла (1/(x^2 * x^2)) интегрируется как x^(-4), а вторая часть (√(9 - x^2)) требует некоторых замен.

Давайте рассмотрим замену для второй части. Пусть t = 9 - x^2, тогда dt = -2x dx. Мы можем выразить dx через dt: dx = -dt / (2x).

Теперь мы можем заменить переменные во второй части интеграла:

∫(1/(x^2 * x^2)) * √(9 - x^2) dx = ∫(1/(x^2 * x^2)) * √t * (-dt / (2x))

Сокращаем x в числителе и знаменателе:

∫(1/(x^2 * x^2)) * √t * (-dt / (2x)) = (-1/2) * ∫(1/(x^3)) * √t * dt

Теперь мы можем интегрировать каждую из частей отдельно:

∫(1/(x^3)) dx = ∫x^(-3) dx = (-1/2) * x^(-2) + C₁

∫√t dt = (2/3) * t^(3/2) + C₂

Теперь мы можем объединить результаты обеих частей:

(-1/2) * (-1/2) * x^(-2) * (2/3) * t^(3/2) + C

Теперь заменяем t обратно в выражение:

(-1/4) * x^(-2) * (2/3) * (9 - x^2)^(3/2) + C

Теперь можно упростить это выражение:

(-1/6) * (9 - x^2)^(3/2) + C

Таким образом, окончательный ответ:

∫(√(9 - x^2))/(x^4) dx = (-1/6) * (9 - x^2)^(3/2) + C, где C - произвольная постоянная интеграции.