Question

СРОЧНООA^2b^2*(b-a)+b^2c^2*(c-b)+c^2a^2*(a-c) разложите на множители

Answer 1

Ответ:

a2(b + c – a) – b2(c + a – b) = (a2 – b2)c – (a2 + b2)(a – b) = (a – b)(ac + bc – a2 – b2)     (1).

  Аналогично,  (b – c)(ba + ca – b2 – c2) = 0     (2)  

и  (c – a)(cb + ab – c2 – a2) = 0     (3).  

  Пусть  a = b.  Тогда из равенства (2) получим, что  с(a – c)2 = 0,  откуда, учитывая, что  с ≠ 0,  следует, что и  с = a.  

  Аналогично все числа равны, если  a = c  или  b = c.

  Пусть все числа различны. Тогда   a2 + b2 – ac – bc = b2 + c2 – ab – ac = c2 + a2 – bc – ab = 0.  Складывая, получим:  

0 = 2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2ac – 2bc = (a – b)2 + (b – c)2 + (a – c)2 = 0.  

Answer 2

Давайте разложим выражение на множители.

Исходное выражение: A^2b^2(b-a) + b^2c^2(c-b) + c^2a^2(a-c)

Для начала, давайте вынесем общий множитель, который присутствует в каждом из трех членов: A^2b^2(b-a) + b^2c^2(c-b) + c^2a^2(a-c) = b^2(a^2(b-a) + c^2(c-b) - a^2(c-b))

Теперь давайте рассмотрим каждый член в скобках по отдельности и попробуем разложить их на множители.

1. a^2(b-a) Мы видим, что здесь есть общий множитель a^2, и мы можем разложить скобку (b-a) как разность двух квадратов: a^2(b-a) = a^2(b^2 - 2ab + a^2)

2. c^2(c-b) Аналогично, здесь есть общий множитель c^2, и мы можем разложить скобку (c-b) как разность двух квадратов: c^2(c-b) = c^2(c^2 - 2bc + b^2)

Теперь подставим оба выражения обратно в исходное выражение:

b^2(a^2(b-a) + c^2(c-b) - a^2(c-b)) = b^2[a^2(b^2 - 2ab + a^2) + c^2(c^2 - 2bc + b^2) - a^2(c^2 - 2bc + b^2)]

Теперь раскроем скобки и упростим выражение:

b^2[a^2b^2 - 2a^3b + a^4 + c^4 - 2bc^3 + b^2c^2 - a^2c^2 + 2abc^2 - b^2c^2] = b^2a^2b^2 - 2b^2a^3 + b^2a^4 + b^2c^4 - 2b^3c^3 + b^4c^2 - a^2b^2c^2 + 2ab^3c^2 - b^2c^4

Теперь мы можем сгруппировать подобные члены:

b^2a^2b^2 + b^2c^4 + b^4c^2 - 2b^3c^3 - 2b^2a^3 + b^2a^4 - a^2b^2c^2 + 2ab^3c^2 - b^2c^4

И упростить еще дальше:

b^4a^2 + b^2c^4 - 2b^3c^3 - 2a^3b^2 + b^2a^4 - a^2b^2c^2 + 2ab^3c^2 - b^2c^4

Теперь мы видим, что у нас есть общий множитель b^2, который можно вынести за скобку:

b^2(a^2 + c^4 - 2bc^3 - 2a^3 + a^4 - a^2c^2 + 2abc^2 - c^4)

Теперь мы можем разложить оставшуюся скобку на множители:

a^2 + c^4 - 2bc^3 - 2a^3 + a^4 - a^2c^2 + 2abc^2 - c^4 = (a^2 - 2a^3 + a^4) + (c^4 - c^4) + (-2bc^3 + 2abc^2 - a^2c^2) = a^2(a^2 - 2a + 1) + 0 - c^3(2b - 2a - c^2) = a^2(a - 1)^2 - c^3(2b - 2a - c^2)

Итак, разложение на множители выражения A^2b^2(b-a) + b^2c^2(c-b) + c^2a^2(a-c) будет:

b^2(a^2(a - 1)^2 - c^3(2b - 2a - c^2))