Question

При каком значении m уравнение имеет двойной корень x^2-(3m+1 )x+4m+3=0

Answer 1

Ответ: (-inf; (5-2√31)/9) U ((5+2√31)/9;+inf) - имеет 2 корня

(5-2√31)/9 и (5+2√31)/9 имеет один корень (х1=х2 может это имеется в виду как двойной корень ?)

Пошаговое объяснение:

X²-x(3m+1)+4m+3=0

D=(3m+1) ²-4(4m+3)=9m²+6m+1-16m-12

D=9m²-10m-11

Решим это квадратное неравенство, учитывая что изначальное уравнение будет иметь 2 корня тогда и только тогда, когда дискриминант будет больше 0

9m²-10m-11>0

9m²-10m-11=0

D=100+396=496

m=(5±2√31)/9

Методом интервалов находим, что при (5-2√31)/9<х<(5+2√31)/9 функция принимает отрицательные значения, следовательно решение неравенства будет интервал:

(-inf; (5-2√31)/9) U (5+2√31)/9;+inf)

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение x^2 - (3m + 1)x + 4m + 3 = 0. У нас есть двойной корень, когда дискриминант этого уравнения равен нулю.

Дискриминант квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 вычисляется по формуле:

D = b^2 - 4ac.

В нашем случае, a = 1, b = -(3m + 1) и c = 4m + 3. Подставим эти значения:

D = (-(3m + 1))^2 - 4(1)(4m + 3) = (9m^2 + 6m + 1) - (16m + 12) = 9m^2 - 10m - 11.

Теперь, чтобы узнать, при каком значении m дискриминант равен нулю, решим уравнение:

9m^2 - 10m - 11 = 0.

Это квадратное уравнение. Решения можно найти с использованием дискриминанта:

D = (-10)^2 - 4(9)(-11) = 100 + 396 = 496.

Так как D > 0, у уравнения есть два корня, которые могут быть найдены следующим образом:

m = [-b ± sqrt(D)] / (2a) = [10 ± sqrt(496)] / (18).

Следовательно, при значениях m:

m₁ = [10 + sqrt(496)] / 18 ≈ 1.325, m₂ = [10 - sqrt(496)] / 18 ≈ -0.658,

уравнение имеет двойной корень.