Question

Найти производные: 1) y=x² · ∛x 2) y=·x 3) y=x²- + - 3 4) y= · arctg 5) y= 6) y=㏑ tg 2x

Answer 1

Пошаговое объяснение:

1.

$y = {x}^{2} \sqrt[3]{x} = {x}^{ \frac{7}{3} }$

$y '= \frac{7}{3} {x}^{ \frac{4}{3} } = \frac{7}{3} x \sqrt[3]{ {x} }$

2.

$y = {tg}^{5} x$

$y' = 5 {tg}^{4} x \times (tgx)' = \\ = 5 {tg}^{2} x \times \frac{1}{ \cos {}^{2} (x) }$

3.

$y = \frac{1}{2} {x}^{2} - \frac{1}{ \sqrt{x} } + \frac{1}{ {x}^{2} } - 3 = \\ = \frac{1}{2} {x}^{2} - x {}^{ - \frac{1}{2} } + {x}^{ - 2} - 3$

$y '= \frac{1}{2} \times 2x - \frac{1}{2} {x}^{ - \frac{3}{2} } - 2 {x}^{ - 3} + 0 = \\ = x - \frac{1}{2x \sqrt{x} } - \frac{2}{ {x}^{3} }$

4.

$y = {2}^{ {x}^{2} } \times arctg( {2}^{x} )$

$y '= ( {2}^{ {x}^{2} } ) '\times \arctg( {2}^{x} ) + ( \arctg( {2}^{x} ))' \times {2}^{ {x}^{2} } = \\ = ln(2) \times {2}^{ {x}^{2} } \times 2x \times \arctg( {2}^{x} ) + \frac{1}{1 + {( {2}^{x}) }^{2} } \times ln(2) \times {2}^{x} \times {2}^{ {x}^{2} } = \\ = ln(2) \times {2}^{ {x}^{2} } (2x \arctg( {2}^{x} ) + \frac{ {2}^{x} }{1 + {4}^{x} } )$

5.

$y = \frac{ \sin(3x) }{ \arccos(2x)}$

$y '= \frac{( \sin(3x))' \times \arccos(2x) + ( \arccos(2x))' \sin(3x) }{ { \arccos}^{2} (2x)} = \\ = \frac{3 \cos(3x) \times \arccos(2x) - \frac{1}{ \sqrt{1 - 4 {x}^{2} } } \times 2 \times \sin(3x) }{ { \arccos}^{2} (2x)}$

6.

$y = ln(tg(2x))$

$y '= \frac{1}{tg(2x)} \times (tg2x)' \times (2x) '= \\ = \frac{ \cos(2x) }{ \sin(2x) } \times \frac{1}{ \cos {}^{2} (2x) } \times 2 = \frac{2}{ \sin(2x) \cos(2x) }$

Answer 2

Давайте найдем производные для данных функций:

1. $y = x^2 \cdot \sqrt[3]{x}$

Для этой функции используем правило производной произведения: $y' = (x^2)' \cdot \sqrt[3]{x} + x^2 \cdot (\sqrt[3]{x})'$

Теперь найдем производные компонентов: $(x^2)' = 2x$ И $(\sqrt[3]{x})' = \frac{1}{3}x^{-2/3}$

Теперь подставим все вместе: $y' = 2x \cdot \sqrt[3]{x} + x^2 \cdot \frac{1}{3}x^{-2/3} = 2x\sqrt[3]{x} + \frac{1}{3}x^{2/3}$

2. $y = \frac{1}{x}$

Для этой функции используем правило производной частного: $y' = \frac{(1)' \cdot x - 1 \cdot (x)'}{x^2}$

Найдем производные компонентов: $(1)' = 0$ И $(x)' = 1$

Теперь подставим все вместе: $y' = \frac{0 \cdot x - 1 \cdot 1}{x^2} = -\frac{1}{x^2}$

3. $y = x^2 - 3$

Для этой функции производная будет просто производной квадратичной функции: $y' = 2x$

4. $y = x \cdot \arctan(x)$

Для этой функции используем правило производной произведения: $y' = (x)' \cdot \arctan(x) + x \cdot (\arctan(x))'$

Найдем производные компонентов: $(x)' = 1$ И $(\arctan(x))' = \frac{1}{1 + x^2}$

Теперь подставим все вместе: $y' = 1 \cdot \arctan(x) + x \cdot \frac{1}{1 + x^2} = \arctan(x) + \frac{x}{1 + x^2}$

5. Для $y = \ln(x)$ производная будет: $y' = \frac{1}{x}$

6. $y = \ln(\tan(2x))$

Для этой функции используем цепное правило (правило производной сложной функции): $y' = \frac{1}{\tan(2x)} \cdot (\tan(2x))'$