Question

Найти сумму первых n членов последовательности (k×k+k+1)/(k×k+k)

Answer 1

Ответ:

n+1-1/n

Пошаговое объяснение:

а(к)=1+1/(к*(к+1))=1+1/к-1/(к+1)

Сумма n членов

1+1+..+1+1/1-1/2+1/2-1/3+...+1/(n-1)-1/n

Сумма равна

n+1-1/n

Answer 2

Для нахождения суммы первых n членов последовательности, представим формулу последовательности (k×k+k+1)/(k×k+k) в более удобной форме. Выразим k+1 в числителе:

(k×k+k+1)/(k×k+k) = (k(k+1)+1)/(k(k+1))

Теперь видно, что k(k+1) можно сократить в числителе и знаменателе. Получаем:

(k(k+1)+1)/(k(k+1)) = (1 + 1/(k(k+1)))

Теперь, чтобы найти сумму первых n членов последовательности, мы можем просто просуммировать n слагаемых:

S_n = (1 + 1/2) + (1 + 1/6) + (1 + 1/12) + ... + (1 + 1/(n(n+1)))

S_n = (1 + 1/2 + 1/6 + 1/12 + ... + 1/(n(n+1))) + (1 + 1/2 + 1/6 + 1/12 + ... + 1/(n(n+1)))

Обратите внимание, что первое слагаемое в каждой скобке представляет собой геометрическую прогрессию 1, 1/2, 1/6, 1/12, ... Второе слагаемое представляет собой геометрическую прогрессию 1, 1/2, 1/6, 1/12, ...

Сумма первых n членов геометрической прогрессии может быть вычислена следующим образом:

S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r),

где a - первый член прогрессии, r - знаменатель прогрессии.

Для первой скобки a = 1, r = 1/2, и для второй скобки a = 1, r = 1/2. Подставив эти значения, получим:

S_n = 1 * (1 - (1/2)^n) / (1 - 1/2) + 1 * (1 - (1/2)^n) / (1 - 1/2)

S_n = 2 * (1 - (1/2)^n)

Итак, сумма первых n членов данной последовательности равна:

S_n = 2 * (1 - (1/2)^n)