Question

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ 2 ЗАДАЧИ 40 баллов. Дали 2 задания по теории вероятности, не знаю как сделать. Помогите, пожалуйста.Задача № 1Найти вероятность того, что среди n наугад выбранных цифр: а) нет цифры 1; б) нет цифры 5; в) нет цифр 1 или 5.Тут надо найти вероятность каждого случая (а,б и в).Задача № 2При въезде в новую квартиру в осветительную сеть было вкручено 2n новых лампочек. Каждая лампочка в течение года перегорает с вероятностью p. Найти вероятность того, что в течение года не менее половины первоначально вкрученных лампочек придется заменить новыми.

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

1. Всего цифр 10, от 0 до 9

а) и б) удовлетворяют все цифри кроме одной → р=9/10=0.9

Если n-цифр, то р=(n-1)/n

в) р=8/10=0.8

Если n-цифр, то р=(n-2)/n

2. р- вероятность перегореть. (1-р)-вероятность работи лампочки

Р(не меньше половини лампочек перегорели)=С(2n,n)p^n(1-p)^n+C(2n,n+1)p^(n+1)(1-p)^(n-1)+...+C(2n,2n)p^(2n)

Answer 2

Давайте рассмотрим оба задания.

Задача №1:

а) Вероятность того, что среди n наугад выбранных цифр нет цифры 1. Вероятность того, что конкретная цифра не является 1, равна 9/10, так как у нас есть 10 возможных цифр (от 0 до 9), и только 1 из них - это 1. Поскольку цифры выбираются независимо, вероятность того, что ни одна из них не является 1, равна (9/10)^n.

б) Вероятность того, что среди n наугад выбранных цифр нет цифры 5. Аналогично предыдущему случаю, вероятность того, что конкретная цифра не является 5, также равна 9/10. Поэтому вероятность того, что ни одна из цифр не является 5, равна (9/10)^n.

в) Вероятность того, что среди n наугад выбранных цифр нет цифры 1 или 5. Для этого мы можем воспользоваться законом умножения вероятностей, так как события "нет цифры 1" и "нет цифры 5" независимы. Таким образом, вероятность того, что ни одна из цифр не является 1 или 5, равна [(9/10) * (9/10)]^n.

Задача №2:

В данной задаче нам нужно найти вероятность того, что не менее половины из 2n лампочек придется заменить новыми в течение года.

Посчитаем вероятность того, что конкретная лампочка не перегорит в течение года (останется работающей) - это вероятность (1 - p), где p - вероятность перегорания лампочки.

Теперь мы можем применить биномиальное распределение, чтобы найти вероятность того, что ровно k из 2n лампочек не перегорят, а остальные перегорят. Формула биномиального распределения:

P(X = k) = C(2n, k) * (1 - p)^k * p^(2n - k),

где C(2n, k) - количество способов выбрать k лампочек из 2n. В данном случае, нам нужно найти вероятность, что k ≥ n (половина из 2n). Таким образом, искомая вероятность будет:

P(X ≥ n) = ∑[k=n до 2n] (C(2n, k) * (1 - p)^k * p^(2n - k)).

Эту сумму можно вычислить, используя программу или калькулятор с поддержкой комбинаторики, так как она может быть довольно сложной для вычисления вручную при больших n.