Question

Найдите наименьший из сумм первых n членов арифметической прогрессии если a1=-157 и a2=-143

Answer 1

Ответ:

-960

Пошаговое объяснение:

аn<0

a1+d(n-1)<0

d=a2-a1= -143-(-157)= -143+157=14

-157+14(n-1)<0

-157+14n-14<0

-171+14n<0

14n<171

n<171/14

n<12 3/14

n= 12

S(12)= 12(a1+a12)/2= 6(a+a12)

a12= a1+11d= -157+11*14= -3

S(12)= 6(-157+(-3))= 6( -157-3)= 6*(-160)=-960

Answer 2

Для арифметической прогрессии с общим членом $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ - первый член прогрессии, $d$ - разность прогрессии и $n$ - номер члена прогрессии, нам даны первые два члена, $a_1 = -157$ и $a_2 = -143$.

Из данного условия, мы можем найти разность прогрессии $d$ как разницу между вторым и первым членами:

$d = a_2 - a_1 = -143 - (-157) = 14.$

Теперь, используя формулу для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1)d),$

где $S_n$ - сумма первых $n$ членов прогрессии, мы можем выразить сумму для данной прогрессии:

$S_n = \frac{n}{2} \cdot (2(-157) + (n-1) \cdot 14) = -157n + 7n^2 - 7n = 7n^2 - 164n.$

Теперь нам нужно найти наименьшее значение этой квадратичной функции, которое достигается в вершине параболы. Вершина параболы имеет координаты $(\frac{-b}{2a}, f(\frac{-b}{2a}))$ для квадратного уравнения $f(x) = ax^2 + bx + c$. В нашем случае $a = 7$, $b = -164$.

Координата x-значения вершины:

$-\frac{b}{2a} = -\frac{-164}{2\cdot7} = \frac{164}{14} = 82/7.$

Подставляем $82/7$ в формулу $S_n$:

$S_n = 7\left(\frac{82}{7}\right)^2 - 164\left(\frac{82}{7}\right) = \frac{7\cdot 82^2 - 164\cdot 82}{7} = \frac{82(7\cdot 82 - 164)}{7} = 0.$

Таким образом, наименьшее значение суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии равно 0, и достигается при $n = \frac{82}{7}$.