Question

Помогите решить диф. уравнение, если задано начальные условия, найти отдельное решение (интеграл), пример:

Answer 1

Ответ:

$2\sqrt{x}\cdot y'=1+y^2\ \ ,\ \ \ y(0)=1\\\\\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1+y^2}{2\sqrt{x}}\ \ ,\ \ \ \int \frac{dy}{1+y^2}=\int \frac{dx}{2\sqrt{x}}\ \ ,\\\\\\\underline {arctgy=\sqrt{x}+C\ }\ \ \ ,\ \ \ \underline {\ y_{obshee}=tg(\sqrt{x}+C)\ }\\\\\\y(0)=1:\ \ arctg1=\sqrt{0}+C\ \ \Rightarrow \ \ \ C=\frac{\pi}{4}\\\\\boxed{\ arctgy=\sqrt{x}+\frac{\pi}{4}\ }$

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить дифференциальное уравнение с заданными начальными условиями и найти частное решение. Давайте начнем с примера.

Предположим, у нас есть дифференциальное уравнение первого порядка:

dy/dx = 2x

и начальное условие:

y(0) = 1

Для решения этого уравнения, вы можете воспользоваться методом разделения переменных. Сначала выразим dy и dx в уравнении:

dy = 2x dx

Теперь разделим переменные, переместив все x-термы на одну сторону и все y-термы на другую:

dy = 2x dx

Интегрируя обе стороны:

∫(1) dy = ∫(2x) dx

Получим:

y = x^2 + C

Здесь C - произвольная постоянная, которую нужно определить, используя начальное условие. Подставим начальное условие y(0) = 1:

1 = 0^2 + C

Отсюда найдем C:

C = 1

Итак, частное решение дифференциального уравнения с начальным условием y(0) = 1:

y = x^2 + 1

Это и есть решение вашего дифференциального уравнения с заданными начальными условиями.