Question

Помогите решить диф. уравнение, если задано начальные условия, найти отдельное решение, пример:

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

Cоставляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

r^2 -3 r + 2 = 0

D=(-3)^2 - 4·1·2=1  

Корни характеристического уравнения:

r1 = 2

r2 = 1

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

y1 = e^(2x)

y2 = e^x

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

y- = C1*e^(2x) +C2*e^x,  Ci ∈ R.  

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:

R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)) имеет решение

y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx)).

Здесь P(x) = 1, Q(x) = 0, α = 1, β = 0.

Следовательно, число α + βi = 1 + 0i является корнем характеристического уравнения кратности k = 1(r2).

Уравнение имеет частное решение вида:

y· = x (Ae^x)

Вычисляем производные:

y' = A·x·e^x+A·e^x

y'' = A(x+2)·e^x

которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

y'' -3y' + 2y = (A(x+2)·e^x) -3(A·x·e^x+A·ex) + 2(x (Ae^x)) = e^x

или

-A·e^x = e^x

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

1: -A = 1

Решая ее, находим:

A = -1;

Частное решение имеет вид:

y·=x (-1e^x)

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

y = y- + y. = C1*e^(2x) +C2*e^x - x *e^x.

Answer 2

Конечно, я могу помочь вам решить дифференциальное уравнение с заданными начальными условиями и найти частное решение. Давайте рассмотрим простой пример.

Предположим, у нас есть следующее дифференциальное уравнение первого порядка:

$\frac{dy}{dx} = 2x$

и начальное условие:

$y(0) = 1$

Для решения этого уравнения сначала найдем его общее решение. Мы можем выразить $dy/dx$ как $2x$ и затем интегрировать обе стороны:

$\int dy = \int 2x \, dx$

Интегрируя, мы получаем:

$y = x^2 + C$

Где $C$ - произвольная постоянная.

Теперь, используя начальное условие $y(0) = 1$, мы можем найти значение $C$:

$1 = 0^2 + C$ $C = 1$

Таким образом, частное решение данного дифференциального уравнения с начальным условием будет:

$y = x^2 + 1$

Это и есть ответ. Вы можете использовать аналогичный подход для решения других дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями.