Question

Помогите решить диф. уравнение, если задано начальные условия, найти отдельное решение, пример: y"+3y'-10y=9

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

r2 +3 r - 10 = 0

D=3^2 - 4·1·(-10)=49  

Корни характеристического уравнения:

r1 = 2

r2 = -5

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

y1 = e^(2x)

y2 = e^(-5x)

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

y- = C1 e^(2x) +C2e^(-5x)     Ci ∈ R

Здесь правая часть P(x) = 9, Q(x) = 0, α = 4, β = 0.

Следовательно, число α + βi = 4 + 0i не является корнем характеристического уравнения.

Уравнение имеет частное решение вида:

y· = Ae^(4x)

Вычисляем производные:

y' = 4·A·e^(4x)

y'' = 16·A·e^(4x)

которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

y'' + 3y' -10y = (16·A·e^(4x)) + 3(4·A·e^(4x)) -10(Ae^(4x)) = 9·e^(4·x)

или

18·A·e^(4x) = 9·e^(4·x)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

1: 18A = 9

Решая ее, находим:

A = 1/2;

Частное решение имеет вид:

y·=1/2e^(4x)

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

y = y- +y. = C1 e^(2x) +C2e^(-5x) +1/2e^(4x).

Answer 2

Для решения данного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, вы можете использовать метод характеристических корней. Уравнение имеет вид:

y'' + 3y' - 10y = 9

Для начала, найдем характеристические корни этого уравнения. Представим решение в виде y = e^(rx), где r - характеристический корень. Подставим это решение в уравнение и решим характеристическое уравнение:

r^2 + 3r - 10 = 0

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения. Вы можете использовать квадратное уравнение или факторизацию. В данном случае, можно факторизовать:

(r + 5)(r - 2) = 0

Из этого уравнения получаем два корня:

r1 = -5 r2 = 2

Теперь у нас есть два характеристических корня, и общее решение будет иметь вид:

y(t) = C1 * e^(-5t) + C2 * e^(2t)

где C1 и C2 - произвольные константы.

Теперь, чтобы найти частное решение для данного конкретного уравнения с неоднородностью 9, мы можем предположить, что частное решение имеет вид y_p(t) = At, где A - константа. Подставим это в уравнение:

y_p'' + 3y_p' - 10y_p = 9

A = 9 / (2 - 0 - 0) = 4.5

Таким образом, частное решение:

y_p(t) = 4.5t

Итак, общее решение уравнения с учетом начальных условий будет выглядеть следующим образом:

y(t) = C1 * e^(-5t) + C2 * e^(2t) + 4.5t

Где C1 и C2 могут быть найдены из начальных условий.