Question

Помогите решить диф. уравнение, если задано начальные условия, найти отдельное решение, пример: y"+4y'+5y=5 - 32x+5

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

Cоставляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

r^2 +4 r + 5 = 0

D=4^2 - 4·1·5=-4  

Корни характеристического уравнения:(комплексные корни):

r1 = -2 + i

r2 = -2 - i

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

y- = C1*e^(-2x)*cos x + C2*e^(-2x)*sin x.

Здесь P(x) = 5•x^2-32•x+5, Q(x) = 0, α = 0, β = 0.

Следовательно, число α + βi = 0i не является корнем характеристического уравнения.

Уравнение имеет частное решение вида:

y· = Ax^2 + Bx + C

Вычисляем производные:

y' = 2·A·x+B

y'' = 2·A

которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

y'' + 4y' + 5y = (2·A) + 4(2·A·x+B) + 5(Ax^2 + Bx + C) = 5·x^2-32·x+5

или

5·A·x^2+8·A·x+2·A+5·B·x+4·B+5·C = 5·x^2-32·x+5

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

x^2: 5A = 5

x: 8A + 5B = -32

1: 2A + 4B + 5C = 5

Решая ее, находим:

A = 1;B = -8;C = 7;

Частное решение имеет вид:

y· = x^2 -8x + 7

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

y = y- +y. = C1*e^(-2x)*cos x + C2*e^(-2x)*sin x +x^2 -8x + 7

Answer 2

Давайте решим данное дифференциальное уравнение с заданными начальными условиями.

У нас есть уравнение:

y'' + 4y' + 5y = 5 - 32x + 5

Сначала решим однородное уравнение (уравнение без правой части):

y'' + 4y' + 5y = 0

Для этого мы предполагаем, что решение имеет вид y(x) = e^(rx), где r - неизвестная константа. Подставляя это предположение в уравнение, получим:

r^2e^(rx) + 4re^(rx) + 5e^(rx) = 0

Теперь делим уравнение на e^(rx):

r^2 + 4r + 5 = 0

Это квадратное уравнение для r. Решим его с помощью квадратного уравнения:

r = (-4 ± √(4^2 - 415)) / (2*1)

r = (-4 ± √(16 - 20)) / 2

r = (-4 ± √(-4)) / 2

r = (-4 ± 2i) / 2

Теперь у нас есть два комплексных корня: r1 = -2 + 2i и r2 = -2 - 2i.

Общее решение однородного уравнения:

y_h(x) = c1e^(-2x)cos(2x) + c2e^(-2x)sin(2x)

Теперь найдем частное решение уравнения с правой частью:

y_p(x) = Ax + B

Теперь подставим y_p(x) в исходное уравнение и решим для A и B:

y_p'' + 4y_p' + 5y_p = 5 - 32x + 5

0 + 4A + 0 = 5 - 32x + 5

4A = -32x

A = -8x

Таким образом, A = -8 и B = 0.

Частное решение:

y_p(x) = -8x

Теперь можем записать общее решение исходного уравнения с учетом частного и общего решения однородного уравнения:

y(x) = y_h(x) + y_p(x)

y(x) = c1e^(-2x)cos(2x) + c2e^(-2x)sin(2x) - 8x

Это общее решение дифференциального уравнения. Теперь, если у вас есть начальные условия, например, y(0) = y0 и y'(0) = y'0, вы можете использовать их, чтобы найти значения констант c1 и c2.