Question

Помогите решить диф. уравнение, если задано начальные условия, найти отдельное решение, пример: y"+4y=

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

r2 +0 r + 4 = 0

D=0^2 - 4·1·4=-16  

Корни характеристического уравнения: (комплексные корни):

r1 = 2i

r2 = - 2i

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

y- = C1 *cos 2x +C2 * sim2x.

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:

R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы

имеет частное решение

y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))

Здесь P(x) = x^2, Q(x) = 0, α = 0, β = 0.

Следовательно, число α + βi = 0i не является корнем характеристического уравнения.

Уравнение имеет частное решение вида:

y· = Ax^2 + Bx + C

Вычисляем производные:

y' = 2·A·x+B

y'' = 2·A

которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

y'' + 4y = (2·A) + 4(Ax^2 + Bx + C) = x^2

или

4·A·x^2+2·A+4·B·x+4·C = x^2

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

x^2: 4A = 1

1: 2A + 4C = 0

x: 4B = 0

Решая ее, находим:

A = 1/4;B = 0;C = -1/8;

Частное решение имеет вид:

y·=1/4x^2 + 0x -1/8  

Общее решение однородного уравнения имеет вид

y = y- +y. = C1 *cos 2x +C2 * sim2x +1/4x^2 -1/8

Answer 2

Для решения дифференциального уравнения второго порядка с начальными условиями, давайте рассмотрим уравнение:

y'' + 4y = 0

Это уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Чтобы найти его решение, мы можем предположить, что решение имеет вид y(x) = e^(rx), где r - некоторая константа, которую мы должны найти.

Подставив это предположение в уравнение, получим:

r^2 e^(rx) + 4 e^(rx) = 0

Теперь давайте разделим обе стороны на e^(rx):

r^2 + 4 = 0

Это характеристическое уравнение, которое позволит нам найти значения r. Решим его:

r^2 = -4

r = ±2i

Таким образом, у нас есть два комплексных корня r = 2i и r = -2i. Общее решение дифференциального уравнения будет иметь вид:

y(x) = A e^(2ix) + B e^(-2ix)

где A и B - произвольные постоянные.

Теперь, если у нас есть начальные условия, например, y(0) = y_0 и y'(0) = y'_0, мы можем использовать их, чтобы найти значения констант A и B.

Давайте рассмотрим y(0) = y_0:

y(0) = A e^(0) + B e^(0) = A + B = y_0

Теперь рассмотрим y'(0) = y'_0:

y'(x) = 2iA e^(2ix) - 2iB e^(-2ix)

y'(0) = 2iA - 2iB = y'_0

Теперь у нас есть система уравнений:

1. A + B = y_0
2. 2iA - 2iB = y'_0

Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения A и B, а затем использовать их, чтобы получить частное решение уравнения.

После нахождения A и B можно записать частное решение уравнения.