Question

Помогите решить диф. уравнение, если задано начальные условия, найти отдельное решение, пример: y"+3y'=9x

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

Cоставляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

r^2 +3 r + 0 = 0

D=9 - 4·1·0=9

Корни характеристического уравнения:

r1 = 0

r2 = -3

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

y1 = e^(0x)

y2 = e^(-3x)

Общее решение однородного уравнения имеет вид:  y-- (над у тире)

y-- = C1 +C2*e^(-3x)  

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:

R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы

имеет частное решение

y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))

Здесь P(x) = 9•x, Q(x) = 0, α = 0, β = 0.

Следовательно, число α + βi = 0i является корнем характеристического уравнения кратности k = 1(r1).

Уравнение имеет частное решение вида:

y· = x (Ax + B)

Вычисляем производные:

y' = 2·A·x+B

y'' = 2·A

которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

y'' + 3y' = (2·A) + 3(2·A·x+B) = 9·x       или

6·A·x+2·A+3·B = 9·x

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

x: 6A = 9

1: 2A + 3B = 0

Решая ее, находим:

A = 3/2;B = -1;

Частное решение имеет вид:

y·=x (3/2x -1)

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

y = y-- + y. = C1 +C2*e^(-3x)  + x (3/2x -1).

Answer 2

Для решения дифференциального уравнения второго порядка с начальными условиями, вам потребуется выполнить следующие шаги. Давайте рассмотрим уравнение:

y'' + 3y' = 9x

1. Найдите общее решение однородного уравнения:

y'' + 3y' = 0

Это уравнение можно решить с помощью метода разделения переменных. Предположим, что y имеет вид y = e^(rx), где r - это неизвестная константа. Затем вычислите первую и вторую производные:

y' = re^(rx) y'' = r^2e^(rx)

Подставив эти производные в уравнение y'' + 3y' = 0, получим:

r^2e^(rx) + 3re^(rx) = 0

Теперь вы можете разделить это уравнение на e^(rx):

r^2 + 3r = 0

Это квадратное уравнение для r. Решите его:

r^2 + 3r = 0

r(r + 3) = 0

Отсюда получаем два значения r:

r1 = 0 r2 = -3

Теперь у нас есть два корня r, и мы можем записать общее решение однородного уравнения:

y_h(x) = C1e^(0x) + C2e^(-3x)

y_h(x) = C1 + C2e^(-3x)

2. Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Для этого воспользуемся методом вариации постоянных. Предположим, что частное решение имеет вид:

y_p(x) = Ax + B

Теперь найдем производные этой функции:

y_p'(x) = A y_p''(x) = 0

Подставив y_p и его производные в исходное уравнение, получим:

0 + 3A = 9x

Отсюда можно найти A:

A = 3x

Теперь, когда у нас есть частное решение, можно записать общее решение неоднородного уравнения:

y(x) = y_h(x) + y_p(x) y(x) = C1 + C2e^(-3x) + 3x

3. Наконец, используя начальные условия, вы можете найти значения констант C1 и C2. Если, например, вам даны начальные условия y(0) = 2 и y'(0) = 1, то подставьте их в общее решение и решите систему уравнений:

C1 + C2 = 2 -3C2 + 3 = 1

Решив эту систему уравнений, вы найдете значения C1 и C2 и, следовательно, полное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями.