Question

Пусть m, n такие натуральные числа, что число 3m + 4n делится на 13. Докажите, что число 28m + 98n также делится на 13.​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

3m + 4n=А

28m + 98n=В

В=5А+13*(m + 6n) .

А по условию делится на 13. Второе слагаемое тоже. Значит В кратно 13.

Answer 2

Пусть:

28m + 98n = 14(2m+7n) = 14b

2m+7n = b

3m + 4n = 13a ( делится на 13)

a,b - натуральные числа.

Откуда:

6m+8n =13*(2a)

6m +21n= 3b

Вычитая равенства имеем:

13n = 3b - 13*(2a)

3b = 13n+ 13*(2a) = 13(n+2a)

Поскольку числа 3 и 13 простые, то b делится на 13, а тогда и

28m + 98n = 14b  делится на 13.

ЧТД

Answer 3

Для доказательства этого утверждения, мы можем воспользоваться свойствами арифметики и модульной арифметики.

Дано, что 3m + 4n делится на 13, что можно записать как:

(3m + 4n) ≡ 0 (mod 13)

Теперь мы хотим доказать, что 28m + 98n также делится на 13, или:

(28m + 98n) ≡ 0 (mod 13)

Давайте попробуем выразить 28m и 98n через 3m и 4n:

28m = 3 * (3m) + (4m) 98n = 4 * (3n) + (7n)

Теперь мы можем заменить 28m и 98n в исходном выражении:

(28m + 98n) = (3 * (3m) + (4m) + 4 * (3n) + (7n)) = (3 * (3m + 4n) + m + 7n)

Мы уже знаем, что 3m + 4n делится на 13, так что можно заменить это значение:

(3 * (3m + 4n) + m + 7n) = (3 * 0 + m + 7n) = (m + 7n)

Теперь у нас есть:

(m + 7n) ≡ 0 (mod 13)

Это означает, что (28m + 98n) также делится на 13, потому что остаток от деления (m + 7n) на 13 равен нулю.

Таким образом, мы доказали, что если 3m + 4n делится на 13, то и 28m + 98n также делится на 13.