Question

Помогите решить тригонометрическое уравнение: sin(x) - cos(x) = (√2)*cos(3x)

Answer 1

Ответ:

sin(x) - cos(x) = (√2)*cos(3x). Разделим на -√2

1/√2 *cosx - 1/√2 *sinx = -cos(3x)

Пусть 1/√2 = cos(π/4)= sin(π/4)

cos(π/4)*cos(x)-sin(π/4)sin(x)=-cos(3x)

cos(x+π/4) +cos(3x) = 0

2*sin(2x+π/8)*sin(x-π/8) = 0

1) sin(2x+π/8) =0

2x+π/8 = πn, n є Z

x = -π/16 +πn/2, n є Z

2) sin(x-π/8) = 0

x-π/8 = πk, k є Z

x = π/8 + πk, k є Z

Ответ: π/8 + πk, k є Z ; x = -π/16 +πn/2, n є Z

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте решим данное тригонометрическое уравнение шаг за шагом.

Исходное уравнение:

sin(x) - cos(x) = √2 * cos(3x)

Первым шагом мы можем преобразовать уравнение, используя тригонометрические идентичности. Заметим, что cos(3x) = cos(2x + x), и мы можем использовать следующие тригонометрические идентичности:

1. cos(2x) = 1 - 2sin^2(x)
2. cos(2x) = 2cos^2(x) - 1

Теперь мы можем переписать уравнение:

sin(x) - cos(x) = √2 * (2cos^2(x) - 1)

Далее объединим члены с cos(x) на одной стороне уравнения, а члены с sin(x) на другой стороне:

sin(x) + √2 * (2cos^2(x) - 1) = cos(x)

Теперь давайте воспользуемся тригонометрической идентичностью sin^2(x) + cos^2(x) = 1 и заменим cos^2(x) на 1 - sin^2(x):

sin(x) + √2 * (2(1 - sin^2(x)) - 1) = cos(x)

Упростим это уравнение:

sin(x) + √2 * (2 - 2sin^2(x) - 1) = cos(x)

Теперь раскроем скобки и упростим дальше:

sin(x) + √2 * (1 - 2sin^2(x) - 1) = cos(x)

sin(x) - 2√2sin^2(x) = cos(x)

Теперь мы можем переписать sin(x) в виде cos(x) с использованием тригонометрической идентичности sin(x) = √(1 - cos^2(x)):

√(1 - cos^2(x)) - 2√2sin^2(x) = cos(x)

Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

1 - cos^2(x) - 8sin^4(x) + 4√2sin^2(x) = cos^2(x)

Теперь объединим члены с cos^2(x) на одной стороне:

1 - 8sin^4(x) + 4√2sin^2(x) = 2cos^2(x)

Теперь заменим cos^2(x) на 1 - sin^2(x) снова:

1 - 8sin^4(x) + 4√2sin^2(x) = 2(1 - sin^2(x))

Раскроем скобки:

1 - 8sin^4(x) + 4√2sin^2(x) = 2 - 2sin^2(x)

Теперь преобразуем уравнение:

-8sin^4(x) + 4√2sin^2(x) + 2sin^2(x) = 1

-8sin^4(x) + 6√2sin^2(x) - 1 = 0

Теперь это квадратное уравнение относительно sin^2(x). Мы можем решить его, используя квадратное уравнение:

Давайте представим sin^2(x) как переменную u:

-8u^2 + 6√2u - 1 = 0

Используем квадратное уравнение для нахождения u:

u = (-B ± √(B^2 - 4AC)) / 2A

где A = -8, B = 6√2, и C = -1. Подставим значения:

u = (-6√2 ± √((6√2)^2 - 4(-8)(-1))) / 2(-8)

Теперь вычислим u:

u = (-6√2 ± √(72 - 32)) / (-16)

u = (-6√2 ± √40) / (-16)

Теперь упростим подкоренное выражение:

u = (-6√2 ± 2√10) / (-16)

Разделим числитель и знаменатель на 2:

u = (-3√2 ± √10) / (-8)

Теперь у нас есть два возможных значения для u:

1. u = (-3√2 + √10) / (-8)
2. u = (-3√2 - √10) / (-8)

Теперь, чтобы найти sin^2(x), возьмем квадратный корень из каждого из этих значений:

1. sin^2(x) = √((3√2 - √10) / 8)
2. sin^2(x) = √((3√2 + √10) / 8)

Теперь найдем sin(x), учитывая, что sin(x) всегда положителен:

1. sin(x) = √(√((3√2 - √10) / 8))
2. sin(x) = √(√((3√2 + √10) / 8))

Теперь у нас есть два набора значений для sin(x). Давайте рассмотрим каждое значение по отдельности и найдем соответствующие значения для cos(x):

1. Для sin(x) = √(√((3√2 - √10) / 8)): Вычислим cos(x) с использованием тригонометрической идентичности sin^2(x) + cos^2(x) = 1: cos(x) = √(1 - sin^2(x)) = √(1 - (√(√((3√2 - √10) / 8)))^2)

2. Для sin(x) = √(√((3√2 + √10) / 8)): Вычислим cos(x) аналогичным образом: cos(x) = √(1 - sin^2(x)) = √(1 - (√(√((3√2 + √10) / 8)))^2)

Теперь у нас есть две пары значений для sin(x) и cos(x). Эти значения можно использовать, чтобы найти соответствующие значения для x. Обратите внимание, что в зависимости от конкретных численных значений корней и решений уравнения могут быть сложными, и, возможно, потребуется использование численных методов для приближенного нахождения решений.