Question

1) Упростить и вычислить sin 22°30' * cos 22°30' 2) Вычислить sin(4arctg1-2arcsin(√3)/2) 3) Решить тригонометрическое уравнение cos x = -0,3328 4) Решить тригонометрическое уравнение sin^2 x/2 = 3/4 5) Решить тригонометрическое уравнение (√3)tg(3x+30°)-3 = 0 6) Решить тригонометрическое неравенство cos x ≤ (√3)/2

Answer 1

1) sin(22 30')*cos(22 30') = (1/2)*sin(2*(22 30')) = (1/2)*sin(45 ) = (1/2)*(V2)/2 = (V2)/4.
2) исходное выражение = sin( 4*(п/4) - 2*(п/3) ) = sin(п - (2/3)*п) = 
= sin(п/3) = (V3)/2.
3) x = arccos(-0,3328) + 2*п*n, или x=-arccos(-0,3328) + 2*п*n, n - принимает все целые значения.
x = (п - arccos(0,3328) ) + 2*п*n, или
x = -(п-arccos(0,3328) ) + 2*п*n = arccos(0,3328) - п + 2*п*n.
4) 1 - 2*sin^2(x/2) = cos(x),
sin^2(x/2) = (1-cos(x))/2.
(1-cos(x))/2 = 3/4.
1- cos(x) = 3/2.
cos(x) = 1 - (3/2) = -1/2.
x = arccos(-1/2) + 2*п*n, или
x = -arccos(-1/2) + 2*п*n, n принимает все целые значения,
arccos(-1/2) = п - arccos(1/2) = п - (п/3) = (2/3)*п,
x = (2/3)*п + 2*п*n, или
x = -(2/3)*п + 2*п*n.
5) tg(3x+30) = (V3).
3x+30 = 60 + 180*n,
3x = 30 + 180*n,
x = 10 + 60*n.
(x выражено в градусах, n - пробегает все целые значения).
6) см. прикрепленный рисунок.

Answer 2

1) Упрощение и вычисление sin(22°30') * cos(22°30')

Для упрощения этого выражения, мы можем использовать тригонометрическую формулу двойного угла для синуса: sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ).

В данном случае мы имеем θ = 22°30', поэтому можем использовать эту формулу для упрощения sin(22°30') * cos(22°30'):

sin(22°30') * cos(22°30') = 2sin(22°30')cos(22°30')/2 = sin(45°)/2 = 1/√2 * 1/2 = 1/(2√2) = √2/4.

Таким образом, sin(22°30') * cos(22°30') упрощается до √2/4.

2) Вычисление sin(4arctg(1) - 2arcsin(√3/2))

Для вычисления этого выражения, мы можем использовать тригонометрические формулы.

arctg(1) = π/4, поэтому 4arctg(1) = 4π/4 = π.

arcsin(√3/2) = 60°, поэтому 2arcsin(√3/2) = 2 * 60° = 120°.

Теперь мы можем вычислить sin(4arctg(1) - 2arcsin(√3/2)):

sin(4arctg(1) - 2arcsin(√3/2)) = sin(π - 120°) = sin(π - 2π/3) = sin(π/3) = √3/2.

Таким образом, sin(4arctg(1) - 2arcsin(√3/2)) равно √3/2.

3) Решение тригонометрического уравнения cos(x) = -0.3328

Для решения этого уравнения, мы можем использовать обратную функцию косинуса (арккосинус).

cos(x) = -0.3328.

x = arccos(-0.3328).

Используя калькулятор или тригонометрические таблицы, мы можем найти приближенное значение арккосинуса -0.3328. Пусть это значение будет α.

Таким образом, x = α + 2πk, где k - целое число, и α - найденное значение арккосинуса.

4) Решение тригонометрического уравнения sin^2(x/2) = 3/4

Для решения этого уравнения, мы можем использовать тригонометрическую формулу для синуса двойного угла.

sin^2(x/2) = 3/4.

sin(x/2) = ±√(3/4) = ±√3/2.

Таким образом, x/2 = arcsin(±√3/2).

Используя калькулятор или тригонометрические таблицы, мы можем найти приближенные значения arcsin(±√3/2). Пусть эти значения будут α и β.

Таким образом, x/2 = α + 2πk или x/2 = β + 2πk, где k - целое число, α и β - найденные значения arcsin(±√3/2).

5) Решение тригонометрического уравнения √3tg(3x + 30°) - 3 = 0

Для решения этого уравнения, мы можем использовать тригонометрическую формулу для тангенса двойного угла.

√3tg(3x + 30°) - 3 = 0.

tg(3x + 30°) = 3/√3 = √3.

Таким образом, 3x + 30° = arctg(√3).

x = (arctg(√3) - 30°)/3.

Используя калькулятор или тригонометрические таблицы, мы можем найти приближенное значение arctg(√3). Пусть это значение будет α.

Таким образом, x = (α - 30°)/3 + 2πk, где k - целое число, α - найденное значение arctg(√3).

6) Решение тригонометрического неравенства cos(x) ≤ √3/2

Для решения этого неравенства, мы можем использовать обратную функцию косинуса (арккосинус).

cos(x) ≤ √3/2.

x ≤ arccos(√3/2).

Используя калькулятор или тригонометрические таблицы, мы можем найти приближенное значение арккосинуса √3/2. Пусть это значение будет α.

Таким образом, решением данного неравенства будет x ≤ α + 2πk, где k - целое число, α - найденное значение арккосинуса.