Question

Найти неопределённый интеграл (ctg x/ sin^2x)*dx

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для нахождения неопределенного интеграла от функции `(ctg(x) + sin^2(x))dx`, мы можем использовать различные методы. Один из способов - это использование тригонометрических тождеств и замены переменных.

Метод замены переменных

Давайте начнем с замены переменных: Пусть `u = sin(x)`, тогда `du = cos(x)dx`.

Заменяя `u` и `du` в исходном интеграле, получаем: `∫ (ctg(x) + sin^2(x))dx = ∫ (ctg(x) + u^2) * (1/cos(x)) * du`

Теперь давайте разложим `ctg(x)` в выражение с использованием тригонометрической идентичности: `ctg(x) = cos(x) / sin(x) = (1 / sin(x)) * cos(x) = (1/u) * √(1 - u^2)`

Подставляя это в выражение, получаем: `∫ ((1/u) * √(1 - u^2) + u^2) * (1/cos(x)) * du`

Теперь объединим части, содержащие `u`: `∫ (1/u) * √(1 - u^2) * (1/cos(x)) + u^2 * (1/cos(x)) du`

Разделим интеграл на два отдельных члена: `∫ (1/u) * √(1 - u^2) * (1/cos(x)) du + ∫ u^2 * (1/cos(x)) du`

Интеграл ∫ (1/u) * √(1 - u^2) * (1/cos(x)) du

Этот интеграл можно решить с помощью метода интегрирования по частям.

Используя формулу интегрирования по частям: `∫ u * dv = u * v - ∫ v * du`, где `u` и `v` - функции переменной `u`, а `du` и `dv` - их дифференциалы, мы можем выбрать: - `u = (1/u)` - `dv = √(1 - u^2) * (1/cos(x)) du`

Тогда: - `du = - (1/u^2) du` - `v = ∫ √(1 - u^2) * (1/cos(x)) du`

Теперь подставим значения `du` и `v` в формулу интегрирования по частям: `∫ (1/u) * √(1 - u^2) * (1/cos(x)) du = (1/u) * ∫ √(1 - u^2) * (1/cos(x)) du - ∫ (∫ √(1 - u^2) * (1/cos(x)) du) * (- (1/u^2) du)`

Упрощая это выражение, получаем: `(1/u) * ∫ √(1 - u^2) * (1/cos(x)) du + ∫ √(1 - u^2) * (1/cos(x)) du / u^2`

Объединяя члены с одинаковыми интегралами, получаем: `∫ √(1 - u^2) * (1/cos(x)) du * (1/u + 1/u^2)`

Интеграл ∫ u^2 * (1/cos(x)) du

Для этого интеграла мы можем использовать метод подстановки переменных.

Пусть `v = u^2`, тогда `dv = 2u du`.

Заменяя `v` и `dv` в интеграле, получаем: `∫ u^2 * (1/cos(x)) du = ∫ (1/2) * (1/cos(x)) dv`

Используя тригонометрическую идентичность `1/cos(x) = sec(x)`, мы можем записать: `∫ (1/2) * sec(x) dv`

Теперь подставим обратную замену переменных: `∫ (1/2) * sec(x) dv = (1/2) * ∫ sec(x) dv = (1/2) * ln|sec(x) + tan(x)| + C`

Где `C` - постоянная интегрирования.

Суммируем результаты

Теперь, объединяя результаты для двух интегралов, получаем итоговый неопределенный интеграл: `∫ (ctg(x) + sin^2(x))dx = ∫ (1/u) * √(1 - u^2) * (1/cos(x)) du + ∫ u^2 * (1/cos(x)) du` `= ∫ √(1 - u^2) * (1/cos(x)) du * (1/u + 1/u^2) + (1/2) * ln|sec(x) + tan(x)| + C`

Где `C` - постоянная интегрирования. Обратите внимание, что `u = sin(x)`.