Question

Хорда АВ окружности радиуса 4 видна из центра под углом 90 градусов Найти а) АВ и расстояние от центра окр-ти до этой хорды б) углы треугольника АВС, где С-точка расположенная на большей дуге АВ так, что дуга АС : дуга СВ = 5 : 4 в) хорду ВС

Answer 1

а) О-центр окружности

    АОВ- прямоугольный равнобедренный треуг. 

    угол О=90 центральный

    углы А=В=45

    ОА=ОВ=4 катеты

    АВ-гипотенуза=4√2

    расстояние от центра окр-ти до этой хорды ОВ*sin45=4*√2/2=2√2

б) угол С=45 лежит по другую сторону от центра О от хорды АВ-он вписаный    угол , опирается на ту же хорду , что и центральный угол АОВ

--равен половине АОВ/2=90/2=45

  -------------------

  теперь дуги дуга АС : дуга СВ = 5 : 4

  --на хорде АВ--маленькая дуга АВ и большая АВ(проходит через т.С)

  маленькую отсекает угол АСВ=45 град, а большую 315 (360-45)

  большую дугуразобьем на 9 частей (5+4) ,

  тогда  АС =315 * 5/9 = 175 (уголАВС)  и СВ =315 * 4/9 = 140(уголВАС)

  

  в) по теореме синусов АВ/sin(ACB)=BC/sin(BAC) ;  4√2/sin45=BC/sin140

     BC=4√2/sin45 *sin140=4*sin140

     

 

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно воспользоваться свойствами окружности и треугольника.

Пусть O - центр окружности радиуса 4, AB - хорда, видимая из центра под углом 90 градусов.

а) Найдем длину хорды AB. Поскольку угол между хордой и радиусом, проведенным к её концам, равен 90 градусов, то треугольник OAB - прямоугольный. Мы знаем, что радиус окружности равен 4, поэтому можно воспользоваться теоремой Пифагора:

\[OA^2 = OB^2 + AB^2.\]

Поскольку OA - радиус, равный 4, а OB тоже радиус, равный 4, то уравнение примет вид:

\[4^2 = 4^2 + AB^2.\]

Решив это уравнение, найдем длину хорды AB.

б) Найдем расстояние от центра окружности до хорды AB. Это можно сделать, воспользовавшись свойством прямоугольного треугольника OAB. Расстояние от центра до хорды равно половине длины хорды, а также равно половине гипотенузы треугольника OAB.

\[OA = \frac{AB}{2}.\]

в) Найдем углы треугольника ABC. Для этого воспользуемся тем, что центральный угол, охватывающий хорду AB, равен углу, образованному этой хордой на окружности. Таким образом, угол в центре равен отношению дуги к радиусу.

У нас дано, что дуга AC : дуга CB = 5 : 4. Пусть x - угол в центре, соответствующий дуге AC. Тогда угол в центре, соответствующий дуге BC, будет равен \( \frac{4}{5}x \). Угол в центре измеряется вдвое больше угла, образованного хордой на окружности. Таким образом, углы треугольника ABC будут равны:

\[ \angle A = 2x, \quad \angle B = 2 \cdot \frac{4}{5}x, \quad \angle C = 180 - (\angle A + \angle B).\]

г) Найдем хорду BC. Для этого воспользуемся свойством хорд, расположенных на одной окружности и охватывающих углы в центре, пропорциональными длинам этих хорд. Так как дуга AC : дуга CB = 5 : 4, то и хорда AC : хорда CB = 5 : 4. Таким образом,

\[ \frac{AC}{CB} = \frac{5}{4}.\]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[ \frac{AB}{2} = 4, \] \[ \frac{AC}{CB} = \frac{5}{4}.\]

Решив эту систему, мы найдем длину хорды AB и хорды BC. Затем, используя найденные значения, можем вычислить остальные параметры задачи.