Question

Доведіть, що чотирикутник ABCD з вершинами в точках А(-11;7), B(1; 12), C(6; 0), D(-6; -5) є квадратом.

Answer 1

Ответ:     ABCD - квадрат.

Объяснение:

Если сумма квадратов смежных сторон равна квадрату гипотенузы, то фигура является квадратом.

или

Если диагонали  фигуры равны, то это квадрат

----------------

АС² = (xC-xA)² + (yC-yA)² = (6-(-11))² + (0-7)² = 17²+7² = 289+49 = 338.

BD² = (xD-xB)² + (yD-yB) = (-6-1)² + (-5-12)² = (-7)² + (-17)² =  49+289 = 338.

--------------

Для достоверности найдем сторону AB:

AB² = (xB-xA)² + (yB-yA)² = (1-(-11))² + (12-7)² = 12²+5² = 144+25 = 169.

BC² = (xC-xB)² + (yC-yB)² = (6-1)² + (0-12)² = 5²+12²=25+144=169.

****************

и окончательно:

по т.Пифагора

AC²=AB²+BC² = 169 + 169 = 338;

338=338!!!

Всё верно - ABCD - квадрат.

Answer 2

Для доведення того, що чотирикутник ABCD з вершинами в точках A(-11;7), B(1;12), C(6;0), D(-6;-5) є квадратом, нам потрібно перевірити чотири умови:

1. Усі сторони чотирикутника ABCD мають однакову довжину. 2. Усі кути чотирикутника ABCD є прямими кутами (90 градусів). 3. Діагоналі чотирикутника ABCD мають однакову довжину. 4. Сторони і діагоналі чотирикутника ABCD перпендикулярні одна до одної.

Давайте перевіримо кожну з цих умов:

1. Усі сторони чотирикутника ABCD мають однакову довжину.

Використовуючи формулу відстані між двома точками, ми можемо обчислити довжини сторін AB, BC, CD і DA:

AB = sqrt((1 - (-11))^2 + (12 - 7)^2) = sqrt(12^2 + 5^2) = sqrt(144 + 25) = sqrt(169) = 13 BC = sqrt((6 - 1)^2 + (0 - 12)^2) = sqrt(5^2 + (-12)^2) = sqrt(25 + 144) = sqrt(169) = 13 CD = sqrt((-6 - 6)^2 + (-5 - 0)^2) = sqrt((-12)^2 + (-5)^2) = sqrt(144 + 25) = sqrt(169) = 13 DA = sqrt((-11 - (-6))^2 + (7 - (-5))^2) = sqrt((-5)^2 + 12^2) = sqrt(25 + 144) = sqrt(169) = 13

Отже, ми бачимо, що всі сторони чотирикутника ABCD мають однакову довжину 13.

2. Усі кути чотирикутника ABCD є прямими кутами (90 градусів).

Для перевірки цієї умови, ми можемо обчислити нахил кожної сторони чотирикутника ABCD і перевірити, чи всі вони дорівнюють нулю.

Нахили сторін можна обчислити за формулою:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

де (x1, y1) та (x2, y2) - координати двох точок, що визначають сторону.

AB: (1 - (-11)) / (12 - 7) = 12 / 5 = 2.4 BC: (6 - 1) / (0 - 12) = 5 / (-12) ≈ -0.4167 CD: (-6 - 6) / (-5 - 0) = (-12) / (-5) = 2.4 DA: (-11 - (-6)) / (7 - (-5)) = (-5) / 12 ≈ -0.4167

Ми бачимо, що всі нахили сторін мають значення, близьке до нуля, а це означає, що всі кути чотирикутника ABCD є прямими кутами.

3. Діагоналі чотирикутника ABCD мають однакову довжину.

Діагоналі чотирикутника ABCD - це відрізки AC і BD. Ми можемо обчислити їх довжини, використовуючи формулу відстані між двома точками:

AC = sqrt((6 - (-11))^2 + (0 - 7)^2) = sqrt(17^2 + 7^2) = sqrt(289 + 49) = sqrt(338) BD = sqrt((1 - (-6))^2 + (12 - (-5))^2) = sqrt(7^2 + 17^2) = sqrt(49 + 289) = sqrt(338)

Отже, діагоналі AC і BD мають однакову довжину sqrt(338).

4. Сторони і діагоналі чотирикутника ABCD перпендикулярні одна до одної.

Ми можемо перевірити, чи перпендикулярні сторони і діагоналі чотирикутника ABCD, обчисливши їх нахили і перевіривши, чи є їх добуток рівним -1.

Нахили сторін AB, BC, CD і DA ми вже обчислили в пункті 2:

AB: 2.4 BC: -0.4167 CD: 2.4 DA: -0.4167

Добуток нахилів AB і CD:

2.4 * 2.4 = 5.76

Добуток нахилів BC і DA:

(-0.4167) * (-0.4167) ≈ 0.1736

Ми бачимо, що добуток нахилів AB і CD є близьким до -1, а добуток нахилів BC і DA є близьким до 0.1736. Тому сторони і діагоналі чотирикутника ABCD не є перпендикулярними одна до одної.

Отже, за результатами перевірки всіх чотирьох умов, ми не можемо стверджувати, що чотирикутник ABCD є квадратом.