Question

В основании пирамиды SPQRT лежит прямоугольник PQRT. Высота пирамиды проходит через середину ребра QR. QR=12, QP=8. Боковая грань, противолежащая ребру QR, наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найди площадь полной поверхности пирамиды.

Answer 1

Ответ:

Площадь полной поверхности пирамиды равна (224+48√2) кв. ед

Объяснение:

По условию задана   пирамида SPQRT.

Основание PQRT - прямоугольник.

QR=12 ед., QР=8 ед.

Н- середина QR, SН - высота пирамиды. ∠ SMH =45°.

Найдем площадь полной поверхности заданной пирамиды.

Площадь полной поверхности равна сумме площадей 5 граней.

Найдем площадь основания, то есть площадь прямоугольника. Для этого надо длину умножить на ширину.

$S= QP\cdot QR;\\S= 12\cdot8 =96$ кв. ед.

Рассмотрим Δ SHM - прямоугольный , так как  SH - высота.

Если ∠ SMH =45°, то ∠HSM =90°- 45°=45° ( сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°).

Если в треугольнике два угла равны , то треугольник равнобедренный.

Δ SHM -равнобедренный

SH= HM= QP= 8 ед.

Найдем гипотенузу SM по теореме Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

$SM^{2} =SH^{2} +HM^{2} ;\\SM= \sqrt{SH^{2} +HM^{2}} ;\\SM= \sqrt{8^{2} +8^{2} } =\sqrt{8^{2} \cdot2} =8\sqrt{2}$ ед.

Найдем площадь грани SQR , площадь треугольника, как полупроизведение стороны на высоту, проведенную к основанию.

$S= \dfrac{1}{2} \cdot QR \cdot SH;\\\\S= \dfrac{1}{2} \cdot 12\cdot 8=6\cdot8=48$

Найдем площадь грани SPT

$S= \dfrac{1}{2} \cdot PT \cdot SM;\\\\S= \dfrac{1}{2} \cdot 12\cdot 8\sqrt{2} =6\cdot8\sqrt{2} =48\sqrt{2}$

Рассмотрим ΔQHS - прямоугольный.

QH= 12:2=6 ед., так как точка H  - середина QR

Найдем SQ по теореме Пифагора

$SQ^{2} =SH^{2} +QH^{2} ;\\SQ=\sqrt{SH^{2} +QH^{2}} ;\\SQ=\sqrt{8^{2} +6^{2} } =\sqrt{64+36} =\sqrt{100} =10$ ед.

Так как  по условию PQRT - прямоугольник, то RQ⊥ QP .

По теореме о трех перпендикулярах SQ⊥ QP и треугольник  ΔSQP - прямоугольный.

Площадь прямоугольного треугольника равна полупроизведению катетов.

$S =\dfrac{1}{2} \cdot SQ \cdot SP;\\\\S =\dfrac{1}{2} \cdot 10\cdot8=5\cdot8=40$

Площадь Δ SRT  равна площади ΔSQP и равна 40 кв. ед.

Найдем площадь полной поверхности пирамиды

S= 96+ 48+48√2 +40+40 =144+80+48√2=224+48√2 кв. ед.

Площадь полной поверхности пирамиды равна (224+48√2) кв. ед.

#SPJ1

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно использовать геометрические свойства пирамиды SPQRT и прямоугольника PQRT.

По условию известно, что QR = 12 и QP = 8. Поскольку высота пирамиды проходит через середину ребра QR, то можно сказать, что точка H (где H - середина QR) является вершиной пирамиды.

Также известно, что боковая грань, противолежащая ребру QR, наклонена к плоскости основания под углом 45°. Это означает, что треугольник QHR (где R - нижний конец высоты) является прямоугольным с углом при вершине H равным 45°.

Мы можем применить тригонометрию, чтобы найти длину HR:

\[ HR = QR \cdot \sin 45° = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}. \]

Теперь у нас есть все необходимые данные для нахождения площади боковой поверхности пирамиды. Площадь боковой поверхности пирамиды вычисляется по формуле:

\[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot \text{периметр боковой грани} \cdot \text{высота}. \]

В данном случае периметр боковой грани равен сумме сторон прямоугольного треугольника QHR: QR + QH + HR. Подставим значения:

\[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot (12 + 8 + 6\sqrt{2}) \cdot 8 = 4(20 + 3\sqrt{2}). \]

Теперь нужно найти площадь основания. Прямоугольник PQRT имеет стороны QR и QP, поэтому его площадь равна:

\[ S_{\text{осн}} = QR \cdot QP = 12 \cdot 8 = 96. \]

Теперь можем найти полную площадь поверхности пирамиды, сложив площади боковой поверхности и основания:

\[ S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}} = 4(20 + 3\sqrt{2}) + 96. \]

Это выражение дает полную площадь поверхности пирамиды SPQRT.