Question

СРОЧНО 100 БАЛОВ Большая основа равносторонней трапеции равна 12 см, ее боковая сторона 4 корня из 5 см, а тангенс острого угла трапеции равен 2. Трапеция вращается вокруг прямой, содержащей ее меньшее основание. Найдите объем тела вращения.

Answer 1

Ответ:

Первым шагом нам необходимо найти высоту равнобедренной трапеции. Так как тангенс острого угла равен 2, то соответствующий катет равен 4, а другой катет равен высоте трапеции h. Тогда:

tan α = 2 = h/4

h = 8

Заметим, что боковая сторона 4 корня из 5 см соответствует боковой стороне прямоугольного треугольника с катетами 4 и корнем из 5, значит, гипотенуза равна 6. Тогда меньшая основа равна:

a = (12 - 6) / 2 = 3

Теперь мы можем найти площадь трапеции:

S = (a + b)h / 2 = (3 + 12) * 8 / 2 = 60

Объем тела вращения получим с помощью формулы:

V = π * ∫(a, b) y^2 dx

где y - расстояние от каждой точки профиля трапеции до оси вращения. Так как трапеция вращается вокруг своего меньшего основания, ось вращения будет находиться на расстоянии 3 см от плоскости профиля.

Тогда, расстояние y от каждой точки профиля до оси вращения будет равно разности расстояний от этой точки до меньшей и большей основы:

y = (3 - x)

Границы интегрирования x будут равны 0 и 12. Тогда:

V = π * ∫(0, 12) (3 - x)^2 dx = π * [x^3 / 3 - 6x^2 + 36x]_0^12 = 516π

Ответ: объем тела вращения равен 516π кубических сантиметров

Объяснение:

Answer 2

Для нахождения объема тела вращения трапеции вокруг прямой, содержащей ее меньшее основание, можно воспользоваться методом цилиндрических оболочек. Объем такого тела выражается интегралом от \(V = \pi \int_{a}^{b} f(x)^2 \,dx\), где \(f(x)\) - расстояние от функции до оси вращения.

В данном случае трапеция вращается вокруг боковой стороны, поэтому функция \(f(x)\) будет равна \(4\sqrt{5} - 4\sqrt{5}x/12\), где \(x\) - расстояние от оси вращения до вертикальной линии, проведенной из точки \(A\) на меньшее основание.

Чтобы найти пределы интегрирования \(a\) и \(b\), рассмотрим трапецию. Поскольку у нас равнобедренная трапеция, ее высота равна \(\sqrt{4^2 - (\frac{4\sqrt{5}}{2})^2} = \sqrt{16 - 20} = \sqrt{-4}\). Так как высота не может быть отрицательной, трапеция вырождается в отрезок длиной 4.

Теперь выражаем объем вращения трапеции в виде интеграла:

\[V = \pi \int_{0}^{4} \left(4\sqrt{5} - \frac{4\sqrt{5}x}{12}\right)^2 \,dx\]

Решив этот интеграл, мы найдем объем тела вращения.