Question

Точки M і N розміщені по різні боки від прямої AB, і при цьому MA дорівгює NB, кут MAB дорівгює куту NBA. Доведіть, що відрізки MN і AB діляться точкою O перетину навпіл.

Answer 1

Розглянемо трикутник MAB. За допомогою теореми о двох комплементарних кутах можемо зробити висновок, що кут AMB є доповненням до куту MAB. Тепер звернемо увагу на трикутник NBA. Кут NAB також дорівнює куту MAB, тому кут NBA є доповненням до куту NAB. Отже, кут NBA є доповненням до доповнення куту MAB.

Тепер можемо використати теорему о рівносторонньому трикутнику: якщо в трикутнику є такий кут, що є доповненням до доповнення куту, то трикутник рівносторонній.

Тому можемо сказати, що трикутник MAB є рівностороннім, тобто відрізки MA і MB дорівнюють. Тож саме можемо зробити висновок для трикутника NBA: відрізки NA та NB дорівнюють.

Отже, відрізки MA та NB дорівнюють та перетинаються в точці O, тому відрізок MN ділиться точкою O перетин

Answer 2

Для доведення, що відрізки MN і AB діляться точкою O перетину навпіл, можна скористатися властивостями подібних трикутників та кутовими співвідношеннями.

Позначимо точку перетину MN і AB як O. Тоді ми маємо:

1. MA дорівнює NB (за умовою задачі). 2. Кут MAB дорівнює куту NBA (за умовою задачі).

Розглянемо трикутники MAB і NBA. Згідно з кутовою теоремою, ми маємо:

- Кут AMB дорівнює куту BNA (перевіряємо, оскільки кути MAB і NBA рівні за умовою).

Отже, за кутовою теоремою, трикутники MAB і NBA подібні.

Тепер розглянемо відношення довжин сторін цих трикутників. За умовою MA дорівнює NB, а отже, відношення довжин сторін MA і AB дорівнює відношенню довжин сторін NB і BA.

Отже, трикутники MAB і NBA подібні за двома кутами та відношенням довжин сторін.

Тепер розглянемо відрізки MN і AB як відношення відповідних сторін трикутників MAB і NBA. Вони також мають однакове відношення, оскільки вони є відношеннями відповідних сторін подібних трикутників.

Отже, відрізки MN і AB діляться точкою O перетину навпіл.