Question

СРОЧНО з поясненням у зошиті треба 1. Прямі, що містять сторони АС і АВ трикутника АВС, паралельні площині альфа. Доведіть, що пряма ВС також паралельна площині альфа. 2. Точка Q не належить площині трикутника KLM. Точки А, В, С належать відрізкам QK, QL і QM відповідно, при- чому кут QAC = куту QKM, кут QCB =куту QML Доведіть, що площини KML i ABC паралельні. 3. Два промені з початком у точці В перетинають одну з двох паралельних площин у точках C1 і D1, а другу — у - точках C2 i D2 Знайдіть довжину відрізка C2D2 , якщо C1D1 = 8 см, BC1 = 10 см, BC2 = 15 см. 4. Площини альфа і бета паралельні. Точки М і N належать площині альфа, К i L - площині бета. Відрізки ML i KN перетинаються, причому ML = KN і MN = KL 1) Доведіть, що точки М, N, K i L лежать в одній площині. 2) Визначте вид чотирикутника MNLK. 3) Знайдіть площу чотирикутника MNLK, якщо KL = 5 см, ML = 13 см.

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

Answer 2

Звісно, давайте розглянемо кожне завдання окремо.

Завдання 1:

1.1. Прямі, що містять сторони AC і AB трикутника ABC, паралельні площині α.

Означимо прямі, які містять сторони AC і AB трикутника ABC як l₁ і l₂ відповідно. Також, нехай α - це площина, паралельна l₁ та l₂.

Доведення:

1. Спершу зауважимо, що будь-яка пряма, яка перетинає одну з паралельних прямих, буде паралельною і другій прямій.

2. Оскільки l₁ і l₂ лежать в площині α, то будь-яка пряма, яка містить сторону трикутника ABC (наприклад, BC), перетинає α.

3. Пряма BC перетинає l₁ (адже l₁ містить AC) і l₂ (адже l₂ містить AB).

4. Таким чином, пряма BC паралельна площині α за властивістю паралельних прямих.

Завдання 2:

2.1. Доведення паралельності площин KML і ABC.

Означимо площини KML і ABC як β₁ і β₂ відповідно.

Доведення:

1. Оскільки точка Q не належить площині трикутника KLM, а точки A, B, C належать відрізкам QK, QL і QM відповідно, то це означає, що площини KML і ABC не перетинаються в точці Q.

2. Кути QAC і QKM рівні за умовою. Аналогічно, кути QCB і QML рівні.

3. Якщо дві прямі перетинаються з третьою прямою так, що сума внутрішніх кутів з одного боку менша 180 градусів, то ці дві прямі паралельні.

4. Кути QAC і QCB разом становлять повний кут навколо точки C, а кути QKM і QML разом становлять повний кут навколо точки K.

5. Отже, за умовою, сума кутів QAC і QCB менша 180 градусів. Так само і для кутів QKM і QML.

6. З пунктів 3, 4 і 5 випливає, що площини KML і ABC паралельні.

Завдання 3:

Знаходження довжини відрізка C2D2.

Означимо відрізки C1D1, BC1, BC2, як \(l_{1}\), \(l_{2}\), \(l_{3}\) відповідно.

Розв'язок:

1. З підобраної нами нотації, \(C1D1 = 8 \, \text{см}\), \(BC1 = 10 \, \text{см}\), \(BC2 = 15 \, \text{см}\).

2. Оскільки C1D1C2 - прямокутний трикутник, то за теоремою Піфагора: \[C2D2 = \sqrt{C1D1^2 + BC1^2} = \sqrt{8^2 + 10^2} = \sqrt{164} \, \text{см}.\]

Завдання 4:

4.1. Точки M, N, K і L лежать в одній площині.

Означимо площини α і β як площині, в яких лежать точки M, N, K і L відповідно.

Доведення:

1. Оскільки M і N належать площині α, а K і L - площині β, то вони всі лежать у відповідних площинах.

2. Відрізки ML і KN перетинаються, при цьому ML = KN і MN = KL.

3. Такі властивості говорять нам про те, що точки M, N, K і L лежать в одній площині.

4.2. Визначення виду чотирикутника MNLK.

З означених властивостей, чотирикутник MNLK є паралелограмом, оскільки протилежні сторони паралельні і рівні.

4.3. Знаходження площі чотирикутника MNLK.

Означимо сторони KL і ML як \(a = 5 \, \text{см}\) і \(b = 13 \, \text{см}\) відповідно.

Розв'язок:

1. Площа паралелограма обчислюється за формулою \(S = a \cdot h\), де \(h\) - висота, що проведена до сторони \(a\).

2. В даному вип