Question

Помогите решить, пожалуйста. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат; диагональ параллелепипеда равна 2 см, а его измерения относятся как 1 : 1 : 2. Найдите: а) измерения параллелепипеда; б) синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.

Answer 1

Сторона квадрата-основания х, высота параллелепипеда  2х
диагональ квадрата основания х√2
диагональ параллелепипеда  Д² = (2х)² + (х√2)² = 6х²
известно, что Д = 2см, тогда 2 =  6х² ---> х = 1/√3 - сторона квадрата-основания
2х = 2/√3 - это высота параллелепипеда
sin a = 2/√3 : 2 = 1/√3 = √3  / 3

Answer 2

Пусть сторона квадрата, служащего основанием параллелепипеда, равна $a$ см, а длина, ширина и высота параллелепипеда равны $b$, $b$ и $2b$ см соответственно. Тогда, используя теорему Пифагора для трехмерного пространства, получаем:

$$a^2 + b^2 + b^2 = (2\text{ см})^2$$

или

$$2a^2 + 2b^2 = 4$$

Также, используя условие о пропорциях, мы можем записать:

$$\frac{b}{a} = \frac{1}{1} \quad \text{и} \quad \frac{2b}{a} = 2$$

Решая эти два уравнения, мы находим $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см, $b = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см и $2b = \sqrt{2}$ см. Таким образом, измерения параллелепипеда равны $\frac{\sqrt{2}}{2}$ см, $\frac{\sqrt{2}}{2}$ см и $\sqrt{2}$ см.

Чтобы найти синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания, мы можем использовать следующую формулу:

$$\sin\theta = \frac{\text{проекция вектора диагонали на плоскость основания}}{\text{длина диагонали}}$$

Заметим, что вектор диагонали имеет координаты $(b,b,2b)$, а плоскость основания является $xy$-плоскостью. Поэтому проекция вектора диагонали на плоскость основания будет иметь координаты $(b,b,0)$. Таким образом, мы получаем:

$$\sin\theta = \frac{\|(b,b,0)\|}{\sqrt{b^2 + b^2 + (2b)^2}} = \frac{b\sqrt{2}}{2\sqrt{6}b} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

Ответ: а) измерения параллелепипеда равны $\frac{\sqrt{2}}{2}$ см, $\frac{\sqrt{2}}{2}$ см и $\sqrt{2}$ см; б) синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания равен $\frac{1}{\sqrt{3}}$.