Question

Площі двох правильних трикутників відносяться як 16:9. Як відносяться радіуси кіл , описаних навколо цих трикутників

Answer 1

Ответ:

4:3

Объяснение:

k²=S1/S2

k=√(S1/S2)=√(16/9)=4/3

Відношення кіл дорівнює коефіцієнту подібності трикутників.

Answer 2

Для розв'язання цього завдання ми можемо скористатися властивостями правильних трикутників та вивести залежність між їхніми площами та радіусами описаних кіл.

Нехай S₁ та S₂ - площі двох правильних трикутників, а r₁ та r₂ - їхні радіуси описаних навколо них кіл відповідно.

Правильний трикутник можна розділити на три рівні рівносторонніх трикутники, і кожен з цих трикутників можна розділити на чотири рівні рівносторонніх трикутники. Одне з таких чотирьохкутників має кут 90 градусів, а інші три - кути по 60 градусів. Таким чином, маємо, що площа правильного трикутника дорівнює (1/4) * (кількість сторінок трикутника) * (довжина сторони трикутника)².

Отже, можемо записати вирази для площ та радіусів:

1. Площа першого трикутника: \[S₁ = \frac{1}{4} \cdot 3 \cdot a₁²,\] де \(a₁\) - довжина сторони першого трикутника.

2. Площа другого трикутника: \[S₂ = \frac{1}{4} \cdot 3 \cdot a₂²,\] де \(a₂\) - довжина сторони другого трикутника.

3. Згідно з умовою, площі трикутників відносяться як 16:9: \[\frac{S₁}{S₂} = \frac{16}{9}.\]

4. Радіус описаного круга для першого трикутника: \[r₁ = \frac{a₁}{2 \cdot \sin(\frac{\pi}{3})},\] де \(\sin(\frac{\pi}{3})\) - синус 60 градусів, який дорівнює \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

5. Радіус описаного круга для другого трикутника: \[r₂ = \frac{a₂}{2 \cdot \sin(\frac{\pi}{3})}.\]

Тепер можемо вирішити систему рівнянь, використовуючи вирази для площ та відношення їхніх значень:

\[\frac{\frac{1}{4} \cdot 3 \cdot a₁²}{\frac{1}{4} \cdot 3 \cdot a₂²} = \frac{16}{9}.\]

Спростимо вираз та вирішимо рівняння для знаходження співвідношення між \(a₁\) та \(a₂\). Після цього можна буде використати ці значення для знаходження радіусів описаних кіл \(r₁\) та \(r₂\).