Question

У паралелограмі ABCD точка М ділить сторону DC пополам. Ви- -> -> разіть вектор АМ через вектори AB i АС

Answer 1

Ответ:

Для розв'язання задачі скористаємося властивістю, що вектор, який ділить сторону паралелограма навпіл, є серединним перпендикуляром до цієї сторони. З цього випливає, що вектор МD є перпендикулярним до вектора AB і має довжину, що дорівнює половині довжини сторони DC:

MD = 1/2 * DC

Також з паралелограма ABCD випливає, що вектор AM можна представити як суму векторів AB і BM:

AM = AB + BM

Але BM можна записати через вектор MD, тобто BM = BD - MD:

BM = BD - 1/2 * DC

Підставляючи це значення в формулу для вектора AM, отримуємо:

AM = AB + BD - 1/2 * DC

Залишилося виразити вектор BD і DC через вектори AB і AC. З паралелограма ABCD випливає, що вектор BD дорівнює вектору AC:

BD = AC

А вектор DC можна записати як різницю векторів AC і AB:

DC = AC - AB

Підставляючи ці значення, отримуємо:

AM = AB + AC - AB - 1/2 * (AC - AB)

AM = 1/2 * (AB + AC)

Таким чином, вектор AM можна виразити через вектори AB і AC:

AM = 1/2 * (AB + AC)

Answer 2

Задача стосується розбиття сторони паралелограма на дві рівні частини. Давайте подивимося на вектори та їх властивості для отримання відповіді.

Нехай \( \overrightarrow{AB} \) - це вектор, який відповідає стороні \( AB \) паралелограма, а \( \overrightarrow{AC} \) - вектор, що відповідає стороні \( AC \). Оскільки точка \( M \) розділяє сторону \( DC \) пополам, то можна сказати, що вектор \( \overrightarrow{DM} \) дорівнює половині вектора \( \overrightarrow{DC} \).

Ми можемо використати властивість лінійності векторів, яка полягає в тому, що вектор, що дорівнює сумі двох векторів, розділений на два, дорівнює половині суми цих векторів.

Отже, можна записати:

\[ \overrightarrow{DM} = \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{DC} \]

Тепер виразимо вектор \( \overrightarrow{DC} \) через вектори \( \overrightarrow{AB} \) і \( \overrightarrow{AC} \):

\[ \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AC} \]

Тепер можемо підставити це вираження у рівняння для вектора \( \overrightarrow{DM} \):

\[ \overrightarrow{DM} = \frac{1}{2} \cdot (\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AC}) \]

Тепер розкриємо дужки і виразимо вектор \( \overrightarrow{DA} \) через вектор \( \overrightarrow{AB} \):

\[ \overrightarrow{DM} = \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{DA} + \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AC} \]

\[ \overrightarrow{DM} = \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AC} \]

Отже, вираз для вектора \( \overrightarrow{DM} \) через вектори \( \overrightarrow{AB} \) і \( \overrightarrow{AC} \) має вигляд:

\[ \overrightarrow{DM} = \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AC} \]