Question

Дан параллелограмм ABCD. Его смежные стороны АВ и ВС относятся как 1:2. Точка Е - середина AD. Докажи, что ВЕ - биссектриса угла АВС.

Answer 1

Доказательство:

AE = 1/2*AD; BA = 1/2*AD - по условию.

AE = BA. Значит, ΔBAE - равнобедренный.

∠ABE = ∠AEB - по условию.

∠AEB = ∠CBE - как накрест лежащие при BC || AD и секущей BE.

Значит, ∠ABE = ∠EBC. BE - биссектриса.

Answer 2

Для доказательства того, что \(BE\) является биссектрисой угла \(\angle ABC\), давайте воспользуемся свойствами параллелограмма и свойствами серединного перпендикуляра.

Обозначим точку пересечения \(BE\) и \(AC\) как точку \(F\).

1. Смежные стороны параллелограмма: В параллелограмме смежные стороны пропорциональны. Так как \(AB\) и \(BC\) - смежные стороны, и они относятся как \(1:2\), то можно записать: \[ \frac{AB}{BC} = \frac{1}{2} \]

2. Серединный перпендикуляр: Так как \(E\) - середина \(AD\), то \(AE = ED\), и отрезок \(BE\) является серединным перпендикуляром к \(AD\). Таким образом, \(BE\) делит \(\angle ABD\) пополам.

Теперь рассмотрим треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle ABD\):

3. Общая сторона: Сторона \(AB\) общая для обоих треугольников.

4. Угол: Из пункта 2 мы знаем, что отрезок \(BE\) делит угол \(\angle ABD\) пополам, следовательно, \(\angle ABE = \angle CBD\).

5. Соотношение сторон: Из пункта 1 мы знаем, что \(\frac{AB}{BC} = \frac{1}{2}\).

Теперь, учитывая эти три факта, мы можем использовать признак угловой подобности треугольников \(\triangle ABC\) и \(\triangle ABD\). По признаку угловой подобности мы можем сказать, что треугольники подобны.

Следовательно, соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны. В частности, отношение сторон \(\frac{BE}{BC}\) равно отношению сторон \(\frac{AB}{BD}\):

\[\frac{BE}{BC} = \frac{AB}{BD}\]

Так как \(\frac{AB}{BC} = \frac{1}{2}\), мы можем записать:

\[\frac{BE}{BC} = \frac{1}{2}\]

Отсюда следует, что \(BE\) является биссектрисой угла \(\angle ABC\).