Question

Около конуса, радиус основания которого равен 1 см, а образующая равна 2 см, описан шар. Найдите его объем. Найдите объем шара, вписанного в правильный тетраэдр с ребром 1 см.

Answer 1

Ответ:

32✓3/27

Объяснение:

При черчении осевого сечения конуса, получаем равнобедренный треугольник ABC.

Радиус основания конуса равен половине основания треугольника AC, а образующие - его боковые стороны AB и BC.

Радиус окружности,

описанной вокруг треугольника ABC, в том числе, является радиусом шара, описанного около конуса.

Тогда, применяем формулу для нахождения радиуса шара

r=l^2/2×√l^2-R^2

Подставляя известные данные, получаем 2/√3. Избавляемся от иррациональности: 2√3/2/

Находим объем шара

V=4/3×pi×2√3/2=32√3/27

Answer 2

Давайте рассмотрим оба вопроса по очереди.

Вопрос 1: Конус, описанный вокруг шара

Для начала определимся с геометрическими данными. У нас есть конус, у которого радиус основания \( r = 1 \, \text{см} \) и образующая \( l = 2 \, \text{см} \). Мы знаем, что этот конус описан вокруг шара. Также известно, что радиус шара совпадает с радиусом основания конуса.

Найдем высоту конуса:

В прямоугольном треугольнике, образованном половиной образующей, радиусом и высотой конуса, применим теорему Пифагора:

\[ h^2 + r^2 = l^2 \]

где: - \( h \) - высота конуса, - \( r \) - радиус основания конуса, - \( l \) - образующая конуса.

Подставим известные значения:

\[ h^2 + 1^2 = 2^2 \]

\[ h^2 + 1 = 4 \]

\[ h^2 = 3 \]

\[ h = \sqrt{3} \]

Найдем объем конуса:

Формула объема конуса:

\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]

Подставим значения:

\[ V = \frac{1}{3} \pi \cdot 1^2 \cdot \sqrt{3} \]

\[ V = \frac{\sqrt{3}}{3} \pi \, \text{см}^3 \]

Вопрос 2: Шар, вписанный в тетраэдр

Теперь давайте перейдем ко второму вопросу. У нас есть правильный тетраэдр с ребром \( a = 1 \, \text{см} \), и мы хотим найти объем вписанного в него шара.

Найдем радиус вписанного шара:

Радиус вписанного шара в правильный тетраэдр равен трети высоты тетраэдра. Так как тетраэдр равносторонний, высота проходит через центр основания и делит его на две равные части.

\[ r_{\text{впис. шара}} = \frac{1}{3} \times \frac{a}{2} = \frac{1}{6} \, \text{см} \]

Найдем объем вписанного шара:

Формула объема шара:

\[ V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi r^3 \]

Подставим значение радиуса:

\[ V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{1}{6} \right)^3 \]

\[ V_{\text{шара}} = \frac{\pi}{432} \, \text{см}^3 \]

Это и есть объем вписанного в тетраэдр шара.