Question

СРОЧНО. 1) Знайти площу рівнобедреного трикутника, якщо його бічна сторона дорівнює 5 см, а висота, яка проведена до основи – 4 см. 2) У рівнобічної трапеції один із кутів дорівнює 45 градусів, більша основа – 70 см, а висота – 10 см. Обчисліть площу трапеції. 3) Знайти площу ромба, якщо його висота дорівнює 10 см, а гострий кут 30 градусів. 4) Чому дорівнюють сторони прямокутника, якщо вони відносяться як 8:18, а його площа дорівнює 576 см2? 5) Діагональ рівнобічної трапеції є бісектрисою її гострого кута і ділить середню лінію трапеції на відрізки довжиною 5 см і 11 см. Знайдіть площу трапеції.

Answer 1

Відповідь:

1.6 см²
2. 600 см²
3. 100 см²
4. a=16см; b=36см
5. 64

Пояснення:

1. За теоремою Піфагора маємо: b = √(a²-h²) = √(5²-4²) = 3 см. Площа рівнобедреного трикутника дорівнює S = 0.5 * b * h = 0.5 * 3 * 4 = 6 см².
2. b = B - 2 * h * tan(45) = 70 - 2 * 10 * tan(45) = 50 см. Площа трапеції дорівнює S = 0.5 * (B + b) * h = 0.5 * (70 + 50) * 10 = 600 см².
3. d₁ = 2 * h = 2 * 10 = 20 см і d₂ = d₁ * sin(α) = 20 * sin(30) = 10 см. Площа ромба дорівнює S = 0.5 * d₁ * d₂ = 0.5 * 20 * 10 = 100 см².
4. a і b - сторони прямокутника, S - його площа. Тоді a/b=8/18 і S=ab=576 см². З першого рівняння  a=(8/18) b=(4/9)b. Підставляючи це значення у друге рівняння отримали: S=(4/9)b*b=576 см² або b=√((9/4)*576)=36 см; a=(4/9)b=16 см;
5. L - середня лінія трапеції, α і β - кути трапеції з боковими сторонами.  L/2 = (5+11)/2 = 8 і Lsin(α) = Lsin(β) = (5+11)/2tan(α) = (5+11)/2tan(β). Оскільки α + β = π/2, то tan(α)tan(β) = tan(α)tan(π/2-α) = tan(α)(1/tan(α)) =1;
L2*(1+1)=L22=(5+11)^2=256 і L=√256/√2=8√2.
Площа трапеції дорівнює L^2/2=64.

Answer 2

1) Площа рівнобедреного трикутника: Рівнобедрений трикутник має дві рівні бічні сторони і висоту, проведену до середини основи, розбиває трикутник на два прямокутники. Площа трикутника дорівнює половині добутку основи на висоту.

Площа трикутника \(S = \frac{1}{2} \times \text{основа} \times \text{висота}.\)

В даному випадку, основа трикутника - бічна сторона, яка дорівнює 5 см, а висота - відстань від вершини трикутника до середини цієї основи, що дорівнює 4 см.

Підставимо в формулу: \(S = \frac{1}{2} \times 5 \, \text{см} \times 4 \, \text{см} = 10 \, \text{см}^2.\)

Отже, площа рівнобедреного трикутника дорівнює 10 квадратним сантиметрам.

2) Площа рівнобічної трапеції: Площа трапеції розраховується за формулою: \(S = \frac{1}{2} \times (\text{сума основ} \times \text{висота}).\)

В даному випадку, більша основа трапеції дорівнює 70 см, а висота - 10 см.

Підставимо значення в формулу: \(S = \frac{1}{2} \times (70 \, \text{см} + x) \times 10 \, \text{см}.\)

Щоб розв'язати рівняння, потрібно знайти довжину меншої основи (x).

Відомо, що один із кутів трапеції дорівнює 45 градусів, тобто трапеція є прямокутною. Тоді можна використовувати теорему Піфагора: \(x^2 + (h-10)^2 = (70)^2.\)

Розв'язавши це рівняння, знайдемо x.

Після знаходження x можна підставити його в попередню формулу для площі трапеції та знайти площу.

3) Площа ромба: Площа ромба розраховується за формулою: \(S = \frac{1}{2} \times \text{діагональ1} \times \text{діагональ2}.\)

В даному випадку, висота ромба (діагональ) дорівнює 10 см, а гострий кут між діагоналями дорівнює 30 градусів.

Площа ромба \(S = \frac{1}{2} \times 10 \, \text{см} \times \text{діагональ2}.\)

Щоб знайти другу діагональ, можна використовувати тригонометричні функції, знаючи гострий кут і одну діагональ: \(\tan(30^\circ) = \frac{\text{висота}}{\text{діагональ2}}.\)

Розв'язавши це рівняння, можна знайти діагональ2 і підставити в формулу для площі ромба.

4) Сторони прямокутника: Дано, що сторони прямокутника відносяться як 8:18. Отже, можна записати рівняння: \(\frac{\text{сторона1}}{\text{сторона2}} = \frac{8}{18}.\)

Із цього рівняння можна знайти значення сторін прямокутника. Далі, можна використовувати ці значення для обчислення площі прямокутника за формулою \(S = \text{сторона1} \times \text{сторона2}.\)

5) Площа рівнобічної трапеції (знову): Діагональ рівнобічної трапеції є бісектрисою гострого кута і ділить середню лінію на дві рівні частини. Знаючи довжини цих відрізків (5 см і 11 см), можна знайти довжину середньої лінії та обчислити площу трапеції, використовуючи раніше виведену формулу.

Розв'язок може в