Question

знайдіть площу поверхні тіла, утвореного обертанням рівностороннього трикутника навколо його сторони завдовжки 4 дм​

Answer 1

площадь поверхности состоит из двух площадей боковых поверхностей конуса, радиус 4√3/2=2√3 см, а высота может быть найдена как а/2=4/2=2(см),

значит, образующая равна √(4*3+4)=4(см)

S=2πRL=2π*2√3*4=16√3π(см²)

Answer 2

Щоб знайти площу поверхні тіла, утвореного обертанням рівностороннього трикутника, навколо його сторони завдовжки \(4 \, \text{дм}\), ми можемо скористатися формулою для площі поверхні обертанням тіла навколо осі.

Для рівностороннього трикутника, сторона \(a\) може бути виражена як \(a = 4 \, \text{дм}\). Площа поверхні тіла, утвореного обертанням трикутника, може бути знайдена за допомогою наступної формули:

\[ S = \pi \int_{0}^{a} f(x)^2 \, dx \]

де \( f(x) \) - функція, що описує відстань від точки на стороні трикутника до вісі обертання в залежності від \( x \). У рівносторонньому трикутнику ця функція є відстанню від точки на стороні до середини цієї сторони.

Для рівностороннього трикутника, відстань від точки на стороні до середини сторони дорівнює половині висоти трикутника, і може бути виражена як \( f(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}x \).

Таким чином, ми можемо записати інтеграл для знаходження площі поверхні тіла:

\[ S = \pi \int_{0}^{4} \left( \frac{\sqrt{3}}{2}x \right)^2 \, dx \]

Обчислимо цей інтеграл:

\[ S = \pi \int_{0}^{4} \frac{3}{4}x^2 \, dx \]

\[ S = \pi \left[ \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4}x^3 \right]_{0}^{4} \]

\[ S = \pi \left( \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot 4^3 - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot 0^3 \right) \]

\[ S = \pi \left( \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot 64 \right) \]

\[ S = \pi \cdot \frac{3}{4} \cdot 16 \]

\[ S = 12\pi \, \text{дм}^2 \]

Отже, площа поверхні тіла, утвореного обертанням рівностороннього трикутника навколо його сторони завдовжки \(4 \, \text{дм}\), дорівнює \(12\pi \, \text{дм}^2\).