Question

Высоты ВВ1 и СС1 остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Е Доказать : угол СС1В = углу СВВ1

Answer 1

Ответ:

Ч.Т.Д.

Объяснение:

1. Из рисунка видно, что треугольники BOC1 и CB1O подобны по двум углам (углы ВС1О=СВ1О=90 , так как CC1 и BB1 – высоты, а углы ВОС1=В1ОС как вертикальные углы). В подобных треугольниках соответственные стороны пропорциональны, то есть можно написать соотношение

ВО/СО=С1О/В1О

2. Треугольники C1OB1 и BOC подобны по двум пропорциональным сторонам и углам между ними (углы С1ОВ1=СОВ  – вертикальные).

3. Из подобия треугольников следует равенство углов:

СВО=ОС1В1

а, значит, равны и углы

СВВ1=СС1В1

Answer 2

Для доказательства равенства углов \( \angle CC_1B \) и \( \angle CBV_1 \), мы можем воспользоваться свойствами остроугольных треугольников и вертикальными углами.

Дано: треугольник \( ABC \) является остроугольным, высоты \( BV_1 \) и \( CC_1 \) пересекаются в точке \( E \).

1. Свойства остроугольных треугольников: В остроугольном треугольнике противоположные углы к острому углу являются острыми.

\[ \angle A > \angle B, \angle A > \angle C \]

2. Свойства высот в треугольнике: Высоты треугольника пересекаются в одной точке (в данном случае, точке \( E \)). Это означает, что углы, образованные высотами и сторонами треугольника, смежными по вершине, являются дополнительными.

\[ \angle CBE + \angle BCE = 90^\circ \] \[ \angle CC_1B + \angle BC_1E = 90^\circ \]

3. Вертикальные углы: Углы, образованные пересекающимися прямыми, являются вертикальными и равными.

\[ \angle BC_1E = \angle BEC \] \[ \angle CC_1B = \angle BCE \]

Теперь, объединим эти свойства:

\[ \angle CC_1B + \angle BC_1E = 90^\circ \] (по свойствам высот) \[ \angle CC_1B = \angle BCE \] (по свойству вертикальных углов)

Таким образом, у нас есть равенство двух углов в треугольнике \( BCE \).

Аналогично, мы можем использовать свойства высот и вертикальные углы в других частях треугольника для доказательства равенства углов \( \angle CC_1B \) и \( \angle CBV_1 \).

Таким образом, доказано, что \( \angle CC_1B = \angle CBV_1 \).