Question

Найдите длину окружности заданной уравнением x²-4x+y2+6y=12​

Answer 1

Ответ:

Это выражение преобразуется в:

(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} =25(x−2)

2

+(y−3)

2

=25

а это уравнение окружности радиусом 5

длина окружности задается формулой L = 2πR = 10π

Объяснение:

Answer 2

Для нахождения длины окружности по уравнению окружности, сначала приведем уравнение к каноническому виду, представив его в виде \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\), где \((a, b)\) - координаты центра окружности, а \(r\) - радиус.

Исходное уравнение: \(x^2 - 4x + y^2 + 6y = 12\)

Для завершения квадратного трехчлена по \(x\), добавим и вычтем \((4/2)^2 = 4\), а для завершения квадратного трехчлена по \(y\) добавим и вычтем \((6/2)^2 = 9\):

\[x^2 - 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 = 12 + 4 + 9\]

Теперь сгруппируем слагаемые:

\[(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = 25\]

Приведем каждую из скобок к квадратному виду:

\[(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25\]

Теперь у нас уравнение окружности в канонической форме. Мы видим, что центр окружности находится в точке \((2, -3)\), а радиус равен \(r = \sqrt{25} = 5\).

Теперь, чтобы найти длину окружности, используем формулу:

\[C = 2\pi r\]

где \(C\) - длина окружности, \(\pi\) - число Пи (\(\pi \approx 3.14159\)), а \(r\) - радиус.

Подставим значения и рассчитаем:

\[C = 2 \cdot 3.14159 \cdot 5 \approx 31.4159\]

Таким образом, длина окружности, заданной уравнением \(x^2 - 4x + y^2 + 6y = 12\), примерно равна \(31.4159\) (или примерно \(31.42\) при округлении) единицам длины.