Question

У ромбі висота, проведена з вершини тупого кута, ділить сторону ромба навпіл. Знайди периметр ромба, якщо його менша діагональ дорівнює b см.

Answer 1

Ответ:

Дано: ромб ABCD, высота ВН, AH=HD=(1/2)*а, где "а" - сторона ромба. В ромбе против большей Диагонали лежит тупой угол.

Тогда в треугольнике АВН угол ABH=30°, так как катет АН равен половине гипотенузы АВ. Угол ВАН=60° (сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°), а это угол А ромба.

Следовательно, треугольник ABD - равносторонний, а его высота АО (0 - точка пересечения диагоналей) равна половине диагонали АС, то есть АO=2V3. Формула высоты: h=(√3/2)*а, отсюда сторона а=2h/√3 или а=4v3/√3=4cm. Площадь ромба равна S=a2*SinA или

S=16*√3/2 =8√3 см².

Или так:

поскольку диагональ BD равна стороне ромба (доказано выше), то его площадь равна S=(1/2)*D*d или S=(1/2)*4v3*4=8√3 см².

Ответ: S=8√3 см².

Answer 2

Давайте позначимо ромб та його елементи:

- Нехай ABCD - ромб, де AB і BC - сторони ромба, а AC і BD - його діагоналі. - Нехай h - висота, проведена з вершини тупого кута (наприклад, з вершини D), і ця висота розділяє сторону BC навпіл на дві рівні частини, тобто BD = DC.

Оскільки висота проведена з вершини тупого кута і розділяє сторону навпіл, отримаємо прямокутний трикутник BDC. За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику:

\[h^2 + \left(\frac{BC}{2}\right)^2 = BD^2.\]

Ми знаємо, що BD = DC, тому можемо замінити DC на BD:

\[h^2 + \left(\frac{BC}{2}\right)^2 = BD^2.\]

Оскільки сторони ромба рівні (AB = BC), маємо:

\[\left(\frac{BC}{2}\right)^2 + \left(\frac{BC}{2}\right)^2 = BD^2,\]

\[2\left(\frac{BC}{2}\right)^2 = BD^2,\]

\[\frac{BC^2}{2} = BD^2.\]

Ми також знаємо, що BD - менша діагональ ромба, і за умовою завдачі її довжина дорівнює \(b\) см. Таким чином, \(BD = b\).

Підставимо це значення у рівняння:

\[\frac{BC^2}{2} = b^2.\]

Помножимо обидві сторони на 2:

\[BC^2 = 2b^2.\]

Тепер можемо знайти сторону ромба BC:

\[BC = \sqrt{2b^2} = b\sqrt{2}.\]

Оскільки сторона ромба рівна \(BC\), периметр ромба (P) буде дорівнювати сумі довжин всіх його сторін:

\[P = 4 \cdot BC = 4 \cdot (b\sqrt{2}) = 4b\sqrt{2}.\]

Отже, периметр ромба буде \(4b\sqrt{2}\) см.