Question

Знайдіть кут між векторами: а) а (2; -1) i =(-4; -8); б) а (2; 1) і (1; 3).

Answer 1

а) Вектор а имеет координаты (2, -1) и (-4, -8).

Чтобы найти угол между векторами, воспользуемся формулой для скалярного произведения векторов: a · b = |a| * |b| * cos(θ), где a · b - скалярное произведение векторов a и b, |a| и |b| - длины векторов a и b соответственно, θ - угол между векторами a и b.

Для нашего случая: a · b = (2 * -4) + (-1 * -8) = -8 + 8 = 0, |a| = sqrt(2^2 + (-1)^2) = sqrt(4 + 1) = sqrt(5), |b| = sqrt((-4)^2 + (-8)^2) = sqrt(16 + 64) = sqrt(80) = 4sqrt(5).

Теперь можем вычислить угол: 0 = sqrt(5) * 4sqrt(5) * cos(θ), cos(θ) = 0 / (sqrt(5) * 4sqrt(5)) = 0. Таким образом, угол между векторами а и b равен 90°.

б) Вектор а имеет координаты (2, 1) и (1, 3).

Снова воспользуемся формулой для скалярного произведения: a · b = |a| * |b| * cos(θ).

Вычислим значения: a · b = (2 * 1) + (1 * 3) = 2 + 3 = 5, |a| = sqrt(2^2 + 1^2) = sqrt(4 + 1) = sqrt(5), |b| = sqrt(1^2 + 3^2) = sqrt(1 + 9) = sqrt(10).

Теперь найдем угол: 5 = sqrt(5) * sqrt(10) * cos(θ), cos(θ) = 5 / sqrt(5) * sqrt(10) = 5 / sqrt(50) = 5 / 5sqrt(2) = 1 / sqrt(2) = sqrt(2) / 2. Угол между векторами а и b равен арккосинусу (cos(θ)): θ = arccos(sqrt(2) / 2) = 45°.