Question

Треугольник CDE задан координатами своих вершин: C (2; 2), D (6; 5), E (5; -2).Докажите, что треугольник CDE – равнобедренный.Найдите биссектрисуCF, проведенную из вершины C.Напишите уравнение прямой, содержащей биссектрису CF.

Answer 1

Треугольник CDE задан координатами своих вершин:  

C (2; 2), D (6; 5), E (5; -2).

1) Докажите, что треугольник CDE – равнобедренный.

2) Найдите биссектрису CF, проведенную из вершины C.

3) Напишите уравнение прямой, содержащей биссектрису CF.

1) Находим длины сторон.

CD = D (6; 5) - C (2; 2) = (4; 3), модуль равен √(4² + 3²) = √(16+9) =√25 = 5.

CE = E (5; -2) - C (2; 2) = (3; -4), модуль равен √(3² + (-4)²) = √(9+16) =√25 = 5.

ED = D (6; 5) - E (5; -2) = (1; 7), модуль равен √(1² + 7²) = √(1+49) =√50 = 5√2.

По длинам сторон определяем, что треугольник равнобедренный.

2) Найдём координаты точки F, используя свойство биссектрисы как медианы для равнобедренного треугольника.

F = (D (6; 5) + E (5; -2)) / 2 = (5,5; 1,5).

CF = (5,5-2; 1,5-2) = (3,5; -0,5).

Длина биссектрисы CF = √(3,5² + (-0,5)²) = √(12,25+0,25 =√12,5 ≈ 3,5355.

3) . Если на сторонах СD и СE треугольника отложить орты (соответственно a и b) и построить на них ромб, то диагональ ромба также поделит угол пополам (по своему свойству) и, значит, ее можно будет взять направляющей биссектрисы. Вектор, построенный на диагонали ромба, равен сумме векторов a и b).

 

Для нахождения ортов a и b используем найденные значения координат векторов СD и CE и их модулей.:

a = CD/|CD| = (4/5; 3/5)

b = CE/|CE| = (3/5; -4/5)

Теперь определим их сумму:

a + b = ((4/5) + (3/5); (3/5) + (-4/5)) = ((7/5); (-1/5)).

Тогда каноническое уравнение биссектрисы CF:

(x – 2)/(7/5) = (y – 2)/(-1/5)  или в общем виде

x + 7y – 16 = 0.

Answer 2

Доказательство, что треугольник CDE - равнобедренный

Для доказательства, что треугольник CDE является равнобедренным, нужно показать, что длины двух его сторон равны.

Для начала, найдем длины сторон треугольника CDE, используя формулу расстояния между двумя точками в пространстве:

Длина стороны CE: CE = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((5 - 2)^2 + (-2 - 2)^2) = √(3^2 + (-4)^2) = √(9 + 16) = √25 = 5

Длина стороны CD: CD = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((6 - 2)^2 + (5 - 2)^2) = √(4^2 + 3^2) = √(16 + 9) = √25 = 5

Таким образом, мы видим, что длины сторон CE и CD равны 5, что говорит о том, что треугольник CDE является равнобедренным.

Нахождение биссектрисы CF

Чтобы найти биссектрису CF, нужно разделить угол C на два равных угла. Для этого мы можем использовать формулу для нахождения координат точки, лежащей на биссектрисе угла.

Пусть точка F(x, y) лежит на биссектрисе CF. Так как биссектриса делит угол C на два равных угла, то у нас есть равенство:

CF/CE = DF/DE

Мы уже знаем значения CE и CD из предыдущего пункта:

CE = 5 CD = 5

Теперь найдем значения DF и DE, используя формулу расстояния между двумя точками:

DF = √((x - 6)^2 + (y - 5)^2) DE = √((x - 5)^2 + (y + 2)^2)

Подставим все значения в уравнение:

5/5 = √((x - 6)^2 + (y - 5)^2)/√((x - 5)^2 + (y + 2)^2)

Упростим это уравнение:

1 = ((x - 6)^2 + (y - 5)^2)/((x - 5)^2 + (y + 2)^2)

Сократим дробь и упростим еще больше:

(x - 6)^2 + (y - 5)^2 = (x - 5)^2 + (y + 2)^2

(x^2 - 12x + 36) + (y^2 - 10y + 25) = (x^2 - 10x + 25) + (y^2 + 4y + 4)

Распишем скобки и сократим подобные слагаемые:

x^2 - 12x + 36 + y^2 - 10y + 25 = x^2 - 10x + 25 + y^2 + 4y + 4

x^2 - x^2 + y^2 - y^2 - 12x + 10x - 10y - 4y + 36 + 25 - 25 - 4 = 0

-2x - 14y + 32 = 0

Таким образом, уравнение прямой, содержащей биссектрису CF, имеет вид:

2x + 14y - 32 = 0

Ответ: Уравнение прямой, содержащей биссектрису CF, равно 2x + 14y - 32 = 0.