Question

1. Пересечение плоскости и плоскости в пространстве. 2. Направление вектора и его свойства - скалярные произведения. 3. Координаты вершин тетраэдра задаются как A (2; -1; 3), B (1; -3; 5), C (6; 2; 5), D (3; -2; - 5). Определите длину высоты от вершины D до стороны ABC.

Answer 1

1) и 2) Ответы на теоретические вопросы даются в учебниках.

3. Даны вершины тетраэдра: A(2; -1; 3), B(1; -3; 5), C(6; 2; 5), D(3; -2; - 5). Определить длину высоты от вершины D до плоскости ABC.

Находим нормальный вектор плоскости АВС.  

Находим векторы АB и АC.

Вектор АВ = (1-2; -3-(-1); 5-3) = (-1; -2; 2).

Вектор АC = (6-2; 2-(-1); 5-3) = (4; 3; 2).

Нормальный вектор плоскости АBC находим из векторного произведения векторов АB и АC с применением схемы Саррюса.

i         j        k|       i        j

-1      -2       2|      -1      -2

4        3      2|       4       3 = -4i + 8j - 3k + 2j - 6i + 8k =

                                          = -10i + 10j + 5k.

Нормальный вектор плоскости АBC равен (-10; 10; 5).

Площадь треугольника АВС равна половине модуля векторного произведения векторов АВ и АС.

S = (1/2)√((-10)² + 10² + 5²) = (1*2)√(100 + 100 + 25) = (1/2)√225= (15/2) кв. ед.

Далее находим объём пирамиды ABCD.

Объём пирамиды равен 1/6 модуля смешанного произведения векторов (ABxAC)*AD.

Произведение векторов (ABxAC) найдено выше и равно (-10; 10; 5).

Находим вектор AD, точки A(2; -1; 3), D(3; -2; - 5).

AD = (3-2; -2-(-1); -5-3) = (1; -1; -8),

(ABxAC) = -10    10     5

       AD =   1      -1      -8  

                -10  - 10  -  4 = -60.

V = (1/6)*|-60| = 10.  

Длину высоты Н из точки D на плоскость АВС находим по формуле:

H = 3V/S = (3*10/(15/2) = 60/15 = 4.

Answer 2

1. Пересечение плоскости и плоскости в пространстве:

В пространстве две плоскости могут пересекаться различными способами:

- Пересечение по прямой: Если две плоскости пересекаются, то их пересечение будет линией, которая может быть прямой. - Пересечение по точке: Если две плоскости совпадают, то их пересечение будет точкой (все точки одной плоскости лежат в другой).

- Пересечение по параллельным плоскостям: Если плоскости параллельны, их пересечение будет пустым множеством.

2. Направление вектора и его свойства - скалярные произведения:

Вектор – это величина, которая имеет как размер, так и направление. Скалярное произведение (или скаляр) двух векторов в пространстве определяется следующим образом:

\[ \vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| \cdot |\vec{B}| \cdot \cos(\theta) \]

где \(\vec{A}\) и \(\vec{B}\) - векторы, \(|\vec{A}|\) и \(|\vec{B}|\) - их длины, \(\theta\) - угол между векторами.

Свойства скалярного произведения:

- Коммутативность: \(\vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A}\) - Дистрибутивность относительно сложения векторов: \(\vec{A} \cdot (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{A} \cdot \vec{C}\)

3. Длина высоты от вершины D до стороны ABC:

Для определения длины высоты тетраэдра от вершины D до стороны ABC используем формулу для высоты из вершины тетраэдра:

\[ h = \frac{\left|\vec{AD} \cdot \vec{n}\right|}{|\vec{n}|} \]

где \(\vec{AD}\) - вектор от вершины D к любой точке на плоскости ABC, а \(\vec{n}\) - нормаль к этой плоскости.

1. Найдем вектор \(\vec{AD}\): \[ \vec{AD} = \vec{D} - \vec{A} = (3-2; -(-2-(-1)); (-5-3)) = (1; -1; -8) \]

2. Найдем нормаль к плоскости ABC. Возьмем векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости ABC (например, \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\)): \[ \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} \] \[ \vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (1-2; -3-(-1); 5-3) = (-1; -2; 2) \] \[ \vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (6-2; 2-(-1); 5-3) = (4; 3; 2) \] \[ \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \left| \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & -2 & 2 \\ 4 & 3 & 2 \end{matrix} \right| = (2; -12; 10) \]

3. Подставим значения в формулу для высоты: \[ h = \frac{\left| (1; -1; -8) \cdot (2; -12; 10) \right|}{|(2; -12; 10)|} \] \[ h = \frac{|(2-12-80)|}{\sqrt{2^2 + (-12)^2 + 10^2}} \] \[ h = \frac{|-90|}{\sqrt{164}} \] \[ h = \frac{90}{\sqrt{164}} \]

Таким образом, длина высоты от вершины D до стороны ABC тетраэдра равна \(\frac{90}{\sqrt{164}}\).