Question

В равнобедренном треугольнике ABC основание AC = 12 см. BM – медиана, равная 8 см. Найдите: а) радиус вписанной окружности (11 баллов); б) радиус описанной окружности (11 баллов). очень срочно умоляю

Answer 1

Ответ:

a) 3cm b) 6.25cm

Объяснение:

BM - медиана и высота, находим AB и AC по теореме Пифагора:

√(64+36) = √100 = 10, AB = AC = 10

радиус описанной окружности находим по формуле

$R = \frac{a^{2} }{\sqrt{4a^2-b^2} } = \frac{100}{\sqrt{4*100 - 144}} = \frac{100}{16} = 6.25$

Для нахождения радиуса вписанной окружности воспользуемся формулой:

$S = pr\\p = \frac{10+10+12}{2} = 16\\S = \frac{1}{2}BM*AC= 4 * 12 = 48\\r = \frac{S}{p} = \frac{48}{16} = 3$

Answer 2

Для решения данной задачи, давайте воспользуемся свойствами медиан в равнобедренном треугольнике.

Пусть \(O\) - центр вписанной окружности, \(I\) - центр описанной окружности, \(r\) - радиус вписанной окружности, \(R\) - радиус описанной окружности.

1. Нахождение радиуса вписанной окружности (решение "а"):

Свойство: В равнобедренном треугольнике медиана также является высотой и биссектрисой.

Мы знаем, что \(BM\) - медиана, и \(AC\) - основание. Поскольку треугольник равнобедренный, \(BM\) также является биссектрисой, а следовательно, \(AO\) - высота.

Треугольник \(ABC\) разбивается медианой на два равных треугольника. Таким образом, \(AO\) делит \(BC\) пополам, и мы получаем два прямоугольных треугольника \(ABO\) и \(BCO\).

Используем теорему Пифагора для треугольника \(ABO\): \[AO^2 + BO^2 = AB^2.\]

Используем тот факт, что \(AO = OC\), так как \(O\) - центр вписанной окружности: \[OC^2 + BO^2 = AB^2.\]

Также, из определения радиуса вписанной окружности \(r\), имеем \(OC = r\): \[r^2 + BO^2 = AB^2.\]

Но \(AB = AC/2\) (половина основания): \[r^2 + BO^2 = (AC/2)^2.\]

Известно, что \(AC = 12\) см: \[r^2 + BO^2 = (12/2)^2.\]

\[r^2 + BO^2 = 36.\]

Теперь нам нужно выразить \(BO\) через \(r\). Для этого воспользуемся тем фактом, что медиана делит другую сторону в отношении 2:1. Таким образом, \(BO = 2/3 \cdot BM\): \[r^2 + \left(\frac{2}{3} \cdot BM\right)^2 = 36.\]

Мы знаем, что \(BM = 8\) см (по условию): \[r^2 + \left(\frac{2}{3} \cdot 8\right)^2 = 36.\]

\[r^2 + \frac{64}{3} = 36.\]

\[r^2 = 36 - \frac{64}{3}.\]

\[r^2 = \frac{108}{3} - \frac{64}{3}.\]

\[r^2 = \frac{44}{3}.\]

\[r = \sqrt{\frac{44}{3}}.\]

Таким образом, радиус вписанной окружности \(r\) равен \(\sqrt{\frac{44}{3}}\) см.

2. Нахождение радиуса описанной окружности (решение "б"):

Используем тот факт, что радиус описанной окружности связан с площадью треугольника следующим образом: \[R = \frac{abc}{4S},\]

где \(a, b, c\) - стороны треугольника, а \(S\) - его площадь.

Мы знаем, что \(AC = 12\) см, \(BM = 8\) см, а также, что \(BM\) является медианой, следовательно, он делит \(AC\) пополам. Таким образом, \(AB = BC = 6\) см.

Площадь треугольника можно выразить через половину произведения основания на высоту: \(S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BM\).

\[S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48.\]

Теперь мы можем подставить все значения в формулу для радиуса описанной окружности:

\[R = \frac{abc}{4S} = \frac{6 \cdot 6 \cdot 12}{4 \cdot 48}.\]

\[R = \frac{432}{192}.\]

\[R = \frac{9}{4}.\]

Таким образом, радиус описанной окружности \(R\) равен \(\frac{9}{4}\) см.

Итак, ответы: а) Радиус вписанной окружности \(r\) равен \(\sqrt{\frac{44}{3}}\) см. б) Радиус описанной окружности \(R\) равен \(\frac{9}{4}\) см.