Question

Реши задачу Сторона АВ прямоугольника ABCD равна 6 см, точка 0 — пересечение диагоналей, ZAOB = 2COD = 60°.Найди диагонали прямоугольника. Ответ: AC = см, BD — СМ.​

Answer 1

Ответ:

12 см

Объяснение:

диагонали прямоугольник равны и делятся точкой пересечения пополам. Значит АО=ВО и треугольник АОВ равнобедренный. Тогда его углы при основании равны: угол ОАВ=угол ВОА=1/2(180-60)=60°. Значит треугольник АОВ равносторонний и АО=ВО=6 см, а AC=BD=2×6=12см

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте обозначим диагонали прямоугольника следующим образом: AC и BD. Также, обозначим угол ZAOB как α, и угол COD как β.

Из условия задачи известно, что ZAOB = 2COD = 60°.

Также, углы COD и ZAOB - смежные, так что мы можем записать:

\[ COD + ZAOB = 180°. \]

Тогда:

\[ \beta + 60° = 180°. \]

Отсюда находим, что \( \beta = 120° \).

Теперь у нас есть два треугольника, треугольник AOB и COD, в которых у нас известны углы и одна сторона (AOB - сторона AB, COD - сторона CD, так как AB и CD - стороны прямоугольника).

Из углов треугольника AOB мы можем выразить угол OAB:

\[ OAB = 180° - ZAOB - \alpha = 180° - 60° - \alpha = 120° - \alpha. \]

Теперь у нас есть два угла в треугольнике AOB (OAB и OBA) и одна сторона (AB), поэтому мы можем использовать закон синусов:

\[ \frac{AB}{\sin OAB} = \frac{AO}{\sin OBA}. \]

Так как OAB = 120° - α, то sin OAB = sin (120° - α). Также, OBA = α, поэтому sin OBA = sin α.

\[ \frac{AB}{\sin (120° - \alpha)} = \frac{AO}{\sin \alpha}. \]

Теперь подставим AO = BO (так как это прямоугольник) и решим уравнение относительно AB:

\[ \frac{AB}{\sin (120° - \alpha)} = \frac{AB}{\sin \alpha}. \]

Теперь можно сократить AB с обеих сторон:

\[ \frac{1}{\sin (120° - \alpha)} = \frac{1}{\sin \alpha}. \]

Возьмем синус обеих сторон уравнения:

\[ \sin (120° - \alpha) = \sin \alpha. \]

Теперь найдем угол α:

\[ 120° - \alpha = \alpha. \]

Решим это уравнение:

\[ 2\alpha = 120°. \]

\[ \alpha = 60°. \]

Теперь у нас есть значения углов α и β, и мы можем использовать их для нахождения длин диагоналей AC и BD.

\[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} \] \[ BD = \sqrt{AB^2 + CD^2} \]

Подставим значения:

\[ AC = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} \approx 8.49 \, \text{см} \]

\[ BD = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} \approx 8.49 \, \text{см} \]

Итак, диагонали прямоугольника равны \( AC \approx 8.49 \, \text{см} \) и \( BD \approx 8.49 \, \text{см} \).