Question

У паралелограмі гострий кут дорівнює 60%, а висота, що проведена з вершини тупого кута, поділяє протилежну сторону на відрізки 3 см та 8 см, рахуючи від вершини гострого кута. Знайти периметр паралелограма.

Answer 1

Давайте позначимо дані:

- Нехай \( ABCD \) - паралелограм, де \( \angle A \) - гострий кут, а \( \angle B \) - тупий кут. - Висота, проведена з вершини тупого кута \( B \), розділяє протилежну сторону \( AD \) на відрізки \( BD = 3 \, см \) і \( CD = 8 \, см \).

Ми знаємо, що гострий кут \( \angle A \) дорівнює 60%. Таким чином, тупий кут \( \angle B \) дорівнює \( 180° - 60° = 120° \).

З трикутника \( ABD \), ми можемо використовувати тригонометричні функції для знаходження сторін. Позначимо \( AB = h \) (висота трикутника), \( BC = a \) і \( AC = c \).

Знаючи, що \( \angle A = 60° \), ми можемо використовувати трикутник \( ABD \):

\[ \tan(60°) = \frac{h}{3} \implies h = 3 \tan(60°) \]

Тепер можемо знайти сторону \( a \):

\[ \cos(60°) = \frac{a}{h} \implies a = h \cos(60°) \]

Аналогічно, для трикутника \( BCD \):

\[ \sin(60°) = \frac{h}{8} \implies h = 8 \sin(60°) \]

Тепер можемо знайти сторону \( c \):

\[ \cos(60°) = \frac{c}{h} \implies c = h \cos(60°) \]

Тепер, для знаходження периметра паралелограма, додамо всі сторони:

\[ \text{Периметр} = AB + BC + CD + DA = h + a + c + h \]

Підставимо значення, які ми знайшли:

\[ \text{Периметр} = 3 \tan(60°) + h \cos(60°) + h \cos(60°) + 8 \sin(60°) \]

Обчисліть це вираз для отримання значення периметра паралелограма.