Question

Найти угол треугольника ABC при вершине А, если даны координаты вершин треугольника А (0; -1), В (√3;0), С (0;3). Выполните рисунок к задаче.​

Answer 1

Чтобы найти угол треугольника при вершине A, нам нужно использовать координаты вершин треугольника. Предположим, что A(0, -1), B(√3, 0) и C(0, 3).

Для нахождения угла в точке A, мы можем использовать следующую формулу для вычисления угла между двумя векторами:

\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\|} \]

Где \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\) - это векторы, направленные от вершины A к вершинам B и C соответственно, \(\cdot\) - это скалярное произведение векторов, а \(\|\mathbf{u}\|\) и \(\|\mathbf{v}\|\) - это их длины.

Давайте найдем вектора \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\):

\[ \mathbf{u} = \langle \sqrt{3} - 0, 0 - (-1) \rangle = \langle \sqrt{3}, 1 \rangle \] \[ \mathbf{v} = \langle 0 - 0, 3 - (-1) \rangle = \langle 0, 4 \rangle \]

Теперь вычислим скалярное произведение и длины векторов:

\[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = (\sqrt{3} \cdot 0) + (1 \cdot 4) = 4 \] \[ \|\mathbf{u}\| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2 \] \[ \|\mathbf{v}\| = \sqrt{0^2 + 4^2} = 4 \]

Теперь подставим значения в формулу для \(\cos(\theta)\):

\[ \cos(\theta) = \frac{4}{2 \cdot 4} = \frac{1}{2} \]

Теперь найдем угол:

\[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3} \]

Таким образом, угол треугольника ABC при вершине A равен \( \frac{\pi}{3} \) радиан или \(60^\circ\).

Теперь давайте построим рисунок.