Question

Вычислите угол между векторами а и н если а(/3, /3) н=(-2,2)

Answer 1

Чтобы вычислить угол между двумя векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \), можно воспользоваться следующей формулой для косинуса угла между векторами:

\[ \cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \cdot \|\mathbf{b}\|} \]

где \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \) - скалярное произведение векторов, а \( \|\mathbf{a}\| \) и \( \|\mathbf{b}\| \) - длины векторов.

В данном случае, у вас даны векторы \( \mathbf{a} = \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right) \) и \( \mathbf{b} = (-2, 2) \).

1. Вычислим скалярное произведение векторов: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \left(\frac{1}{3} \cdot -2\right) + \left(\frac{1}{3} \cdot 2\right) = -\frac{2}{3} + \frac{2}{3} = 0 \]

2. Вычислим длины векторов: \[ \|\mathbf{a}\| = \sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{2}{9}} = \frac{\sqrt{2}}{3} \]

\[ \|\mathbf{b}\| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]

3. Подставим значения в формулу для косинуса угла: \[ \cos \theta = \frac{0}{\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right) \cdot (2\sqrt{2})} = 0 \]

Таким образом, косинус угла между векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) равен 0. Теперь мы можем найти угол \( \theta \) с помощью арккосинуса: \[ \theta = \arccos(0) = \frac{\pi}{2} \]

Итак, угол между векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) равен \( \frac{\pi}{2} \) радиан или 90 градусов.