Question

На площині задано криву другого поряку. Знайти канонічне та загальне рівняння цієї кривої, визначити її основні характеристики та зробити відповідні креслення. (a) x ^ 2 - 4x - 11 + y ^ 2 + 2y = 0 (b) 16x ^ 2 - 64x + 25y ^ 2 + 150y - 111 = 0 (c) - 25x ^ 2 - 50x + 144y ^ 2 - 576y - 3049 = 0 (d) x - 15 - 4y ^ 2 + 16y = 0

Answer 1

Ответ:

(a) x^2 - 4x - 11 + y^2 + 2y = 0

Перетворимо це рівняння, додавши та віднімаючи константи:

x^2 - 4x + 4 - 11 + y^2 + 2y + 1 = 4 - 11 + 1

(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 2y + 1) = -6 + 4 + 1

(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = -1

Оскільки сума квадратів не може бути від'ємною, це рівняння не має розв'язків на площині.

(b) 16x^2 - 64x + 25y^2 + 150y - 111 = 0

16x^2 - 64x + 25y^2 + 150y + 111 - 111 = 0

(16x^2 - 64x + 25) + (25y^2 + 150y + 111) = 111

16(x^2 - 4x + 25/16) + 25(y^2 + 6y + 111/25) = 111

16(x^2 - 4x + 25/16) + 25(y^2 + 6y + 111/25) = 111 + 16 + 25

16(x^2 - 4x + 25/16) + 25(y^2 + 6y + 111/25) = 152

16(x - 2)^2 + 25(y + 3)^2 = 152

(c) -25x^2 - 50x + 144y^2 - 576y - 3049 = 0

-25x^2 - 50x + 144y^2 - 576y + 3049 - 3049 = 0

(-25x^2 - 50x + 25^2) + (144y^2 - 576y + 24^2) = 3049 - 3049 + 25^2 + 24^2

-25(x^2 + 2x + 25) + 144(y^2 - 4y + 24) = 625 + 576

-25(x + 5)^2 + 144(y - 2)^2 = 1201

(d) x - 15 - 4y^2 + 16y = 0

x - 15 - 4y^2 + 16y = 0

x + 16y - 15 - 4y^2 = 0

x + 16y - 15 - 4(y^2 - 4y) = 0

x + 16y - 15 - 4(y^2 - 4y + 4 - 4) = 0

x + 16y - 15 - 4((y - 2)^2 - 4) = 0

x + 16y - 15 - 4(y - 2)^2 + 16 = 0

x - 4(y - 2)^2 + 16y - 15 + 16 = 0

x - 4(y - 2)^2 + 16y + 1 = 0

Answer 2

(a) Канонічне рівняння: x^2 - 4x - 11 + y^2 + 2y = 0

Щоб знайти загальне рівняння цієї кривої, спочатку складемо квадрати для частин х та у:

x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4 y^2 + 2y = (y + 1)^2 - 1

Підставимо це в канонічне рівняння:

(x - 2)^2 - 4 + (y + 1)^2 - 1 = 0 (x - 2)^2 + (y + 1)^2 - 5 = 0

Отже, загальне рівняння цієї кривої:

(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 5

Основні характеристики кривої: - Центр кола, що задає цю криву, знаходиться в точці (2, -1). - Радіус кола рівний √5. - Крива є колом з центром в точці (2, -1) та радіусом √5.

(b) Канонічне рівняння: 16x^2 - 64x + 25y^2 + 150y - 111 = 0

Складемо квадрати для частин х та у:

16(x^2 - 4x) + 25(y^2 + 6y) = 111 + 64 16(x^2 - 4x + 4) + 25(y^2 + 6y + 9) = 111 + 64 + 16*4 + 25*9 16(x - 2)^2 + 25(y + 3)^2 = 400

Отже, загальне рівняння цієї кривої:

16(x - 2)^2 + 25(y + 3)^2 = 400

Основні характеристики кривої: - Центр еліпса, що задає цю криву, знаходиться в точці (2, -3). - Довжина великої півосі еліпса дорівнює 10. - Довжина малої півосі еліпса дорівнює 8. - Крива є еліпсом з центром в точці (2, -3), великою півоссю 10 та малою півоссю 8.

(c) Канонічне рівняння: -25x^2 - 50x + 144y^2 - 576y - 3049 = 0

Складемо квадрати для частин х та у:

-25(x^2 + 2x) + 144(y^2 - 4y) = 3049 + 100 + 576*4 -25(x^2 + 2x + 1) + 144(y^2 - 4y + 4) = 3049 + 100 + 576*4 -25(x + 1)^2 + 144(y - 2)^2 = 4409

Отже, загальне рівняння цієї кривої:

-25(x + 1)^2 + 144(y - 2)^2 = 4409

Основні характеристики кривої: - Центр гіперболи, що задає цю криву, знаходиться в точці (-1, 2). - Розміри гіперболи залежать від значень коефіцієнтів перед квадратами у рівнянні. - Крива є гіперболою з центром в точці (-1, 2) та розмірами, які визначаються рівнянням.

(d) Канонічне рівняння: x - 15 - 4y^2 + 16y = 0

Складемо квадрат для частини у:

x - 15 - 4(y^2 - 4y) = 0 x - 15 - 4(y^2 - 4y + 4) + 4*4 = 0 x - 15 - 4(y - 2)^2 + 16 = 0 x - 4(y - 2)^2 + 1 = 0

Отже, загальне рівняння цієї кривої:

x - 4(y - 2)^2 + 1 = 0

Основні характеристики кривої: - Вершина параболи, що задає цю криву, знаходиться в точці (1, 2). - Ось параболи проходить паралельно вісі ОХ. - Крива є параболою з вершиною в точці (1, 2).