Question

На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC взята точка D. Из точки D опущены перпендикуляры DP и DQ на стороны AC и BC треугольника ABC. Найдите площадь треугольника ABC, если площади треугольников APD и BQD равны 72 и 32.

Answer 1

Ответ:

Площадь треугольника АВС равна 200 ед.².

Объяснение:

На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC взята точка D. Из точки D опущены перпендикуляры DP и DQ на стороны AC и BC треугольника ABC. Найдите площадь треугольника ABC, если площади треугольников APD и BQD равны 72 и 32.

Дано: ΔАВС - прямоугольный;

D ∈ АВ;   DP ⊥ AC;   DQ ⊥ BC.

S(APD) = 72;   S(BQD) = 32.

Найти: S(ABC)

Решение:

• Если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны между собой.

⇒ DQ || AC;   DP || BC.

Рассмотрим ΔАРD и ΔDQB - прямоугольные.

∠DAP = ∠BDQ (накрест лежащие при DQ || AC и секущей АВ)

⇒  ΔАРD ~ ΔDQB (по двум углам)

• Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

$\displaystyle \frac{S(APD)}{S(BQD)}=\frac{72}{32}=\frac{9}{4}=k^2\;\;\;\Rightarrow \;\;\; \bf k=\frac{3}{2}$

Пусть DQ = 2a, тогда АР = 3а;

Пусть BQ = 2b, тогда DP = 3b.

PDQC - прямоугольник (DQ || AC;   DP || BC; DP ⊥ AC;   DQ ⊥ BC)

• Противоположные стороны прямоугольника равны.

⇒ DQ = PC = 2a;   DP = QC = 3b.

Рассмотрим ΔDQB - прямоугольный.

• Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

$\displaystyle S(DQB)=\frac{1}{2}DQ\cdot BQ=\frac{1}{2}\cdot 2a\cdot2b=2ab\\ \\ 2ab=32\;\;\;\Rightarrow \;\;\; \bf ab=16$

Рассмотрим ΔАВС - прямоугольный.

АС = 5а; BC = 5b.

$\displaystyle S(ABC)=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 5a\cdot 5b=\frac{25}{2}\cdot ab=\frac{25}{2}\cdot16=200$

Площадь треугольника АВС равна 200 ед.².

#SPJ1

Answer 2

Давайте рассмотрим треугольники ABC, APD и BQD.

Обозначим длину гипотенузы AB как c, а катеты AC и BC как a и b соответственно. Пусть h - высота, проведенная из вершины C на гипотенузу AB. Также обозначим длины отрезков AD и BD как x и y соответственно.

Теперь у нас есть следующие данные:

1. \(S_{APD} = 72\) 2. \(S_{BQD} = 32\)

Мы знаем, что площадь треугольника равна \(\frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}\). Используем этот факт для наших треугольников.

1. \(S_{APD} = \frac{1}{2} \times AD \times DP\) 2. \(S_{BQD} = \frac{1}{2} \times BD \times DQ\)

Также, площадь треугольника ABC можно выразить через основание AC и высоту h:

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AC \times h \]

Так как точка D лежит на гипотенузе AB, то AC = x + y.

Мы знаем, что \(S_{APD} = 72\) и \(S_{BQD} = 32\), поэтому можем записать уравнения:

\[ \frac{1}{2} \times x \times DP = 72 \quad \text{(1)} \]

\[ \frac{1}{2} \times y \times DQ = 32 \quad \text{(2)} \]

Также, с использованием подобия треугольников APD и ABC, можно записать:

\[ \frac{AD}{AC} = \frac{DP}{h} \quad \text{(3)} \]

С подобием треугольников BQD и ABC:

\[ \frac{BD}{BC} = \frac{DQ}{h} \quad \text{(4)} \]

Из уравнений (3) и (4) можно выразить высоту h через x и y:

\[ h = \frac{x \cdot AC}{AD} = \frac{y \cdot BC}{BD} \]

Теперь подставим значение AC = x + y:

\[ h = \frac{x \cdot (x + y)}{AD} = \frac{y \cdot (x + y)}{BD} \]

Теперь мы имеем систему уравнений (1), (2) и уравнение для высоты h. Решив эту систему, мы сможем найти x и y, а затем вычислить площадь треугольника ABC.