Question

5.Даны вектор р(-6; 2), (3; 3) и (9; а). Найдите: а) косинус между векторами р и а b) число а, если векторы √ и а коллинеарны; с) число а, если векторы р и а перпендикулярны.​

Answer 1

Ответ:

Для нахождения косинуса между векторами и числа "a", если векторы коллинеарны или перпендикулярны, воспользуемся следующими формулами:

1. **Косинус угла между векторами**:

Косинус угла θ между векторами "p" и "q" можно найти с помощью скалярного произведения векторов и их длин:

\(\cos(θ) = \frac{p * q}{|p| * |q|}\)

Где:

- \(p * q\) - скалярное произведение векторов "p" и "q".

- \(|p|\) - длина вектора "p".

- \(|q|\) - длина вектора "q".

В данном случае вектор "p" это (-6, 2), и вектор "q" это (9, a).

2. **Коллинеарность векторов**:

Два вектора "p" и "q" коллинеарны, если их скалярное произведение равно произведению их длин:

\(p * q = |p| * |q|\)

3. **Перпендикулярность векторов**:

Два вектора "p" и "q" перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю:

\(p * q = 0\)

Теперь давайте применим эти формулы, чтобы найти "a" и косинус угла между векторами "p" и "q".

Answer 2

Решение:

Для начала, найдем вектор а, зная вектор р и значение a.

Вектор a = (9; a)

Теперь рассмотрим каждый пункт задачи по очереди.

а) Косинус между векторами р и а:

Косинус угла между двумя векторами можно найти с помощью формулы:

cos(θ) = (р * а) / (|р| * |а|)

где р * а - скалярное произведение векторов р и а, |р| и |а| - длины векторов р и а соответственно.

Для нахождения скалярного произведения векторов р и а, умножим соответствующие координаты и просуммируем:

р * а = (-6 * 9) + (2 * a)

Далее, найдем длины векторов р и а:

|р| = sqrt((-6)^2 + 2^2) = sqrt(36 + 4) = sqrt(40) = 2 * sqrt(10)

|а| = sqrt(9^2 + a^2) = sqrt(81 + a^2)

Теперь можно выразить косинус угла между векторами р и а:

cos(θ) = ((-6 * 9) + (2 * a)) / (2 * sqrt(10) * sqrt(81 + a^2))

б) Число а, если векторы р и а коллинеарны:

Векторы коллинеарны, если они сонаправлены или противоположно направлены. Для коллинеарных векторов, их координаты пропорциональны.

Из условия задачи, векторы р и а коллинеарны, поэтому можно записать пропорцию:

-6/9 = 2/a

Решая эту пропорцию, найдем значение a:

-6a = 18

a = -3

в) Число а, если векторы р и а перпендикулярны:

Для перпендикулярных векторов, их скалярное произведение равно нулю:

р * а = (-6 * 9) + (2 * a) = 0

-54 + 2a = 0

2a = 54

a = 27

Таким образом, получаем ответы:

а) Косинус между векторами р и а: cos(θ) = ((-6 * 9) + (2 * a)) / (2 * sqrt(10) * sqrt(81 + a^2))

б) Число а, если векторы р и а коллинеарны: a = -3

в) Число а, если векторы р и а перпендикулярны: a = 27