Question

Даны координаты 4 вершин пирамиды: А(3;5;-4), B(1;0;2), C(-5;1;2), D(0;5;-4). Найти: 1) длину ребра АВ: 3) площадь грани ABD; 2) угол между ребрами АВ и AD; 4) Объем пирамиды

Answer 1

Объяснение:

Для розв'язання цієї задачі можна скористатися медіанною формулою, яка говорить, що довжина медіани, проведеної до третьої сторони трикутника, дорівнює половині довжини цієї сторони. Тобто, якщо позначити третю сторону як "х", то маємо:

11 см = x / 2.

Звідси можна отримати значення третьої сторони, помноживши обидві частини рівняння на 2:

22 см = x.

Таким чином, третя сторона трикутника дорівнює 22 см.

Answer 2

Для решения задачи нам потребуется использовать формулы для расчета различных параметров трехмерных фигур.

1. Длина ребра AB (a): Для нахождения длины ребра AB используем формулу для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

\[ a = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} \]

Подставляем значения координат точек A и B:

\[ a = \sqrt{(1 - 3)^2 + (0 - 5)^2 + (2 + 4)^2} \]

Вычисляем:

\[ a = \sqrt{4 + 25 + 36} = \sqrt{65} \]

Таким образом, длина ребра AB равна \( \sqrt{65} \).

2. Площадь грани ABD (S): Площадь треугольника можно найти, используя формулу Герона для треугольника по его сторонам:

\[ s = \frac{a + b + c}{2} \]

где \( a \) - длина ребра AB, \( b \) - длина ребра BD, \( c \) - длина ребра AD.

Затем используем формулу площади треугольника:

\[ S = \sqrt{s \cdot (s - a) \cdot (s - b) \cdot (s - c)} \]

Значения для \( b \) и \( c \) можно найти аналогично расчету для ребра AB, используя координаты точек B, D и A.

3. Угол между ребрами AB и AD (θ): Используем скалярное произведение векторов для нахождения косинуса угла между векторами \(\vec{AB}\) и \(\vec{AD}\):

\[ \cos(\theta) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AD}}{\lVert \vec{AB} \rVert \cdot \lVert \vec{AD} \rVert} \]

Подставим координаты точек A, B и D:

\[ \cos(\theta) = \frac{(1 - 3)(0 - 5) + (2 + 4)(5 + 4) + (\sqrt{65} \cdot \sqrt{65})}{\sqrt{65} \cdot \sqrt{65} \cdot \sqrt{65} \cdot \sqrt{65}} \]

Решим это уравнение и найдем угол \( \theta \).

4. Объем пирамиды (V): Объем пирамиды можно найти, используя формулу:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h \]

Где \( S_{\text{основания}} \) - площадь основания, а \( h \) - высота пирамиды. Высоту можно найти, используя, например, треугольник ABD и теорему Пифагора.

Это общий план для решения задачи. Выполните вычисления согласно указанным формулам, и вы получите значения искомых величин.