Question

Доведіть, що чотирикутник ABCD, вершини якого мають координати А (-3; 4), В (4; 3), С (5; -4), D (-2; -3) є ромбом. Будь ласка, дуже треба

Answer 1

Щоб довести, що чотирикутник ABCD є ромбом, ми маємо перевірити дві умови:

1. Усі сторони чотирикутника ABCD мають однакову довжину. 2. Діагоналі чотирикутника ABCD перпендикулярні одна до одної і діляться навпіл.

Спочатку обчислимо довжини сторін чотирикутника ABCD:

Сторона AB: AB = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2] = √[(4 - (-3))^2 + (3 - 4)^2] = √[7^2 + (-1)^2] = √[49 + 1] = √50 = 5√2 (округлено до найближчого цілого)

Сторона BC: BC = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2] = √[(5 - 4)^2 + (-4 - 3)^2] = √[1^2 + (-7)^2] = √[1 + 49] = √50 = 5√2

Сторона CD: CD = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2] = √[(-2 - 5)^2 + (-3 - (-4))^2] = √[(-7)^2 + (1)^2] = √[49 + 1] = √50 = 5√2

Сторона DA: DA = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2] = √[(-3 - (-2))^2 + (4 - (-3))^2] = √[(-1)^2 + (7)^2] = √[1 + 49] = √50 = 5√2

Отже, довжини усіх сторін чотирикутника ABCD рівні 5√2, отже, умова 1 виконується.

Тепер перевіримо, чи є діагоналі чотирикутника ABCD перпендикулярні одна до одної і чи діляться навпіл:

Діагональ AC: AC = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2] = √[(5 - (-3))^2 + (-4 - 4)^2] = √[8^2 + (-8)^2] = √[64 + 64] = √128 = 8√2

Діагональ BD: BD = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2] = √[(-2 - 4)^2 + (-3 - 3)^2] = √[(-6)^2 + (-6)^2] = √[36 + 36] = √72 = 6√2

Оскільки AC = 8√2 і BD = 6√2, і вони мають однакову довжину тільки якщо 8√2 / 6√2 = 1, то діагоналі перпендикулярні одна до одної і діляться навпіл.

Отже, чотирикутник ABCD з вершинами A(-3, 4), B(4, 3), C(5, -4), D(-2, -3) є ромбом, оскільки виконуються обидві умови.