Question

Докажи, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, найди его площадь, если A(12;3), B(16;7), C(14;9) и D(10;5).

Answer 1

Ответ:

Треугольник ABCD имеет четыре угла значит треугольник ABCD является четврехугольником

S= A×B×C×D

Площадь= 12,3×16,7×14,9×10,5=32136,3945

Answer 2

Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, нам понадобится проверить, являются ли его стороны противоположными сторонами с одинаковой длиной и образуют ли они прямой угол.

Для начала найдем длины сторон AB, BC, CD и DA, используя координаты точек:

AB = √((16 - 12)^2 + (7 - 3)^2) = √(4^2 + 4^2) = √32 = 4√2 BC = √((14 - 16)^2 + (9 - 7)^2) = √((-2)^2 + 2^2) = √8 = 2√2 CD = √((10 - 14)^2 + (5 - 9)^2) = √((-4)^2 + (-4)^2) = √32 = 4√2 DA = √((12 - 10)^2 + (3 - 5)^2) = √(2^2 + (-2)^2) = √8 = 2√2

Теперь проверим, образуют ли стороны прямой угол, используя формулу для вычисления угла между векторами:

cosθ = (AB · CD) / (||AB|| ||CD||)

где AB · CD - скалярное произведение векторов AB и CD, ||AB|| и ||CD|| - длины векторов AB и CD.

AB · CD = (16 - 12)(10 - 14) + (7 - 3)(5 - 9) = (-4)(-4) + (4)(-4) = 16 - 16 = 0

||AB|| ||CD|| = (4√2)(4√2) = 32

cosθ = 0 / 32 = 0

Так как cosθ = 0, то угол между сторонами AB и CD равен 90 градусов, что означает, что четырехугольник ABCD является прямоугольником.

Чтобы найти площадь прямоугольника ABCD, нам необходимо найти длины его сторон и умножить их.

Длина AB = 4√2, длина BC = 2√2. Так как AB и BC - противоположные стороны прямоугольника, их длина одинакова.

Площадь прямоугольника ABCD равна S = AB * BC = 4√2 * 2√2 = 8 * 2 = 16.

Таким образом, площадь прямоугольника ABCD составляет 16 квадратных единиц.